|
Előszó
„A logosz a teljesség igénye mint kérdések forrása”
- írja Tábor Béla (l. itt az utószóban).
A matematikai axiomatika eredeti hilberti programjában, az úgynevezett metamatematikai
programban az axiómarendszerrel szemben támasztott alapkövetelmény a rendszer
teljessége, ellentmondásmentessége és az egyes axiómák függetlensége (a többire
való visszavezethetetlensége). Teljességen az axiomatika azt érti, hogy minden,
a rendszer nyelvén megfogalmazott állítás vagy levezethető, vagy cáfolható a
rendszer eszközeivel. Ez csak egy mozzanata annak, amit Tábor Béla nyomán itt
teljességnek nevezünk, valójában a három alapkövetelmény együtt jelenti és
jellemzi a teljesség igényét a hilberti axiomatikában.
A matematikai axiomatikának ez az eredeti
teljességigénye a logoszt képviseli. Ezért kapcsolódunk az axiomatikához -
Szabó Lajos nyomán -, és ebben kapcsolódunk hozzá. Nem kapcsolódunk azonban az
axiomatikához abban, sőt élesen támadjuk azért, hogy már kiindulásánál
korlátozza ezt a teljességigényét. A szakaxiomatika azt kérdezi: mi a teljesség
igényének a szerepe a matematikai megismerésben? Azt már nem kérdezi, hogy nem
ellentmondás-e, nem a nem-teljesség igényével beszél-e a teljesség igényéről,
ha csak annyiban törekszik a teljességre, amennyiben ez közvetlenül szolgálja
az ő matematikai igényeit. De hogy jogosan vetjük-e fel ezt a kérdést, az
persze attól függ, hogy milyen tágan értelmezi a szakaxiomatika a matematikát.
A matematikai axiomatika (s ebbe beleértjük az
összes vele párhuzamosan, különböző neveken futó alapkutatási ágakat, tehát a
metamatematikát, a szimbolikus logikát, a modellelméletet stb.) adottnak
tekinti és késztermékként kezeli a matematikát, a matematika olyan
alapfogalmait, mint a szám, az egyenes vagy a halmaz. Legföljebb arra tesz
kísérletet, hogy egyiket a másikra „visszavezesse”. Egyáltalán nem foglalkozik
annak elemzésével, hogy milyen művelet, milyen szellemi tevékenység hozza létre
ezeket az alapfogalmakat.
Az axiomatika az alapfogalmak definiálását
kifejezetten lehetetlennek tartja. Holott saját magával szemben csak akkor
lenne következetes, ha azt mondaná: egy rendszer alapfogalmait az adott
rendszeren belül nem lehet definiálni, de egy átfogóbb és erősebb, „eggyel
magasabb szintű” rendszerben kell tudnunk definiálni azokat. S ha a
geometria és az aritmetika alapfogalmait, az egyenest és a számot meg is
próbálja definiálni egy erősebbnek vélt rendszeren, a halmazelméleten belül, a
halmaz vagy az attól csak mennyiségileg és nem strukturálisan különböző osztály
fogalmának esetében meg sem próbálkozik ilyen magasabb szintű definícióval.
Másrészt a leírásnak, illetve a rámutatásnak a definiálásnál magasabb rendű és
egzaktabb formáját az axiomatika nem ismeri, ami azt is jelenti, hogy végső
soron elemzetlen és elemezhetetlen, mert meghatározatlan alapfogalmakból indul
ki. A logoszt akarja képviselni, de a matematikai alapfogalmak tekintetében a
mítosz álláspontján áll. A mi metaaxiomatikus axiomatika-elemzéseinknek ezért
visszatérő alaptémája lesz logosz és mítosz viszonyának elemzése.
A mi metaaxiomatikánk is kiindulópontul fogadja el
az axiomatika hármas alapkövetelményét, de azon belül a szakaxiomatika
kérdésével ellentétes irányú kérdésből indul ki. Míg a szakmatematika arra a
kérdésre keresi a választ, hogy mi a teljesség igényének, az axiomatikus hármas
követelménynek a funkciója a matematikán belül, addig a mi első, tehát legfontosabb
kérdésünk a matézis vonatkozásában az, hogy mi a teljesség igényével fellépő
megismerésen belül a matézis funkciója. Csak ezután következik az a kérdés,
hogy az így kapott „ősmatézisnak” mi a viszonya a matematikai szakkutatás
egészéhez, alapfogalmaihoz, és hogy mi a matematikai szakkutatás funkciója.
|
A szakaxiomatika, mint mondtuk, a matematika
alapfogalmait adottnak tekinti. Tágabb értelmezésre a szakaxiomatikán belül
csak olyan fél-outsiderek részéről van igény, amilyen például Andreas Speiser;
de még az ilyen tágabb értelmezés is adottnak tekinti a matematikai gondolkodás
meglétét és értékét. Ezzel szemben a mi metaaxiomatikánk előbb felteszi azt a
kérdést, hogy a megismerő szellem milyen szükséglete és milyen tevékenysége,
milyen művelet hozza létre a matézist (az eredeti matematikai gondolkodást), a
matézis egyes alapformáit. Először azt kérdezzük: mi a matézist létrehozó
szellemi szükségletnek és műveletnek az eredete, funkciója és értéke a
teljesség igényén belül? Azok és csak azok a kérdések tartoznak a
metaaxiomatika körébe, amelyek arra szolgálnak, hogy ennek a kérdésnek mint
tényleges kérdésnek a feltevését és megválaszolását megalapozzák.
- - -
Az itt következő írásokban rámutatunk arra, hogy a
szakmatézisban is szükségképpen középpontba kerülnek a szellem olyan
alapkérdései, mint az, hogy mi az igazság, mi az azonosság, a másság és a
különbség, mi az Egy, a végtelen és a szám, mi a létezés, a minden és a
reláció, vagy a pont, a tér és az egyenes. De korántsem elégszünk meg ennyivel,
és nem is ez az, ami elsősorban érdekel minket. A metaaxiomatikai kiindulópont
azt jelenti, hogy előbbrevalónak tekintjük annak a megmutatását, hogyan
jelennek meg és mit jelentenek például az Egy, a végtelen és a szám, vagy a
pont, a tér és az egyenes a teljesség igényén belül, azaz hogyan képezhetők le
a velük kapcsolatos (szak)axiomatikus kérdések a teljesség igényével fellépő
megismerés belső kérdéseire és hogyan világíthatók meg belőlük. Ahol pedig
közvetlenül a szakaxiomatikán belül felmerülő ilyen centrális kérdésekre
reflektálunk, ott azt mutatjuk meg, hogy a szám-egy, a geometriai egyenes, a
matematikai reláció szakkutatásán belül megjelenő alapkérdéseknek a súlyuknak
megfelelő és teljes, tehát axiomatikus kifejtése csakis úgy lehetséges, ha
leképezzük őket azokra a kérdésekre, amelyeket Szabó Lajos az „egyetlen
misztérium” kisugárzásának tekint. „Az egyetlen ősmisztérium - mondja Szabó
Lajos - a létezés, megismerés és értékelés trinitárius immanens egysége. Ebben
a végső képletben benne van az, amit mondunk és az, amit mondani nem tudunk. Az
ősmisztérium áll előtérben: ez éppen racionális, értelem-igenlő szempontból
döntő.”
Nyugodtan mondhatjuk, hogy paradox helyzetben
vagyunk: el kell távolodnunk attól a szakmai környezettől, amelyben a kérdések
felmerülnek, és éppen azért kell eltávolodnunk tőle, hogy megértsük az ott
felmerült kérdéseket. Vagy másképp fogalmazva: ahogyan Szabó Lajos szerint a
Bibliával való közvetlen foglalkozás eltávolít a Biblia szellemétől,
ugyanúgy a matematikával való közvetlen foglalkozás is eltávolíthat a
matematika szellemétől. Az itt következő írásoknak mégsem az a céljuk, hogy
eltávolítsanak ettől a matematika szellemétől eltávolító szakmatematikai
magatartástól (ezt ma egyre nagyobb hangerővel teszik a legkülönbözőbb, magukat
spirituálisnak tartó irányzatok), hanem kifejezetten az, hogy közelebb vigyenek
a matematika szelleméhez, amely nem szigetelhető el az oszthatatlan egy
szellem semmilyen meg nyilvánulásától. A szellemi élet minden területén az
axiomatizmus és a metaaxiomatizmus erői küzdenek egymással, a matematika ennek
a harcnak egyik - kitüntetett jelentőségű - küzdőtere. E kötet tanulmányai -
melyekben a saját metaaxiomatikai kutatásaimon kívül elsősorban Szabó Lajos
nyelvmatézisára és Tábor Béla pneumatológiai (személyiség-, szimbólum- és
logoszelméleti) elemzéseire támaszkodtam - hozzá kívánnak járulni ahhoz, hogy
ennek a harcnak a frontjai élesebben kirajzolódjanak.
|
|
Szümpózion a nulláról (a teljes szöveg itt olvasható)
1. A nulla az önálló matematika szubcentruma. - Az aritmológus vitaindítója
A matematikus gondolkodásmódjának két legfontosabb jellemzője a nulla-centrikusság és az, hogy a kisebb-nagyobb ellentétpárt nem határolja el az egy-sok ellentétpártól, s ezzel indirekt módon
azonosítja a kettőt, a „kisebbet” az „egy”, a „nagyobbat” a „sok” irányával.
Úgy természetes, ha az egynél kezdjük a számolást. A nulláról, a semmiről, a
nemlét e különös képéről nem tudjuk, hogy mi, amíg el nem hisszük, hogy amit
használni tudunk, arról már tudjuk is, hogy micsoda. A gyerek tudja, hogy ha
három tehénből elveszünk kettőt, akkor egy tehén marad, de ha három tehénből
három tehenet veszünk el, akkor szerinte nem nulla tehén marad, hanem a zöld
rét és a napsugár.
Eredendő tapasztalatunk a létről van, és nem a nemlétről.
A modern ember (de öntudatlanul már a görög és a középkori is) a számolást
mégis a nullánál kezdi. A kezdőpontot a nullába helyezi: gondoljunk például a
0-kilométerkőre vagy arra, hogy a Descartes-féle koordinátarendszer origója,
kezdőpontja - a res extensa-nak a res cogitanstól duálisan elválasztott
külön világára irányuló megismerő forma külön centruma - a (0, 0) pontban van.
A nulla-origóra épül a „nagy robbanás” asztrofizikai hipotézise, amely az egész
fizikai világegyetemet, és a halmazelmélet üreshalmaz-axiómája,
amely az egész matematikai univerzumot a nullából akarja felépíteni. A nulla-gondolat tehát
érintkezik a semmiből való teremtés dogmájával is. A 0 számjegyalakja pedig a tojásra utal, amely Johann
Jakob Bachofen szerint anyaöl- és földszimbólum. Azt is mondhatjuk, hogy a 0
számjegy egy középpont nélküli (üres) kör (vagy ellipszis). Mindenesetre olyasvalamit szimbolizál, ami a
láthatatlan, teremtő férfi-princípium nélkül, attól elválasztva csak a
pusztulás és keletkezés megváltástalan körforgását zárja magába.
Az orfikus tojás a születés és meghalás
egyensúlyát fejezi ki: egyik fele világosra, másik fele sötétre van festve.
Vajon benne van-e ez a kétpólusosság a matematika nullájában?
...
A látszat szerint a nulla a pozitív és negatív pólus egyensúlyát fejezi ki:
0=1+(-1); sőt, a nulla mintha a cusanusi coincidentia
oppositorum-ot (az ellentétek egybeesését) is kifejezné: 0=-0.
Valójában azonban a negatív számok nem ellentétei a pozitív számoknak, csak
fordítottjai, tükörképei.
A görögöknek nem voltak negatív számaik. Másrészt az egyet nem számnak
tekintették, hanem a transzcendens Egy szimbólumának, a számok kezdetének,
elvének. Természetesen minden szimbólum egyben önálló erőforrás is. Amikor az
aritmetikai - és az aritmológiai - 1 létrehozza a számokat, ez vissza is hat
rá: az 1 már a görögöknél elkezd hasonulni a többi számhoz (lásd Zalai Béla
rendszerelemzéseit és Szabó Lajos matematikaelemzéseit). A nulla, a -1 és a
negatív számok csak ezután alakulhattak ki. Egyszerűen az a nihilista igény
hozta őket létre, hogy a kivonás korlátlanul elvégezhető legyen, hogy a
számolásnak ne legyen kezdete, olyan kiindulópontja, ahol a kivonás: az
absztrakció, a csökkenés, a hátrálási kényszer megszűnik.
Absztrakció, csökkenés, hiány, kiüresedés, hátrálási kényszer, kivonás: mindez
az egészből kiszakadónak, a lezárulónak, a démonnak a mozgása. Ezzel szemben a
konkréció, a növekedés, a bőség, a kielégülés-kiegészülés, az előrelépés, a
(hozzá)adás az egészséges szellem mozgása. Nem mindegy, hogy egy konkrét
gondolat megszületésekor melyik szab határt a másiknak. Amíg az 1 még szimbolikusan őrzött valamit
transzcendens hátteréből (ha dinamikus transzcendáló erejéből már nem is),
addig határt tudott szabni a kivonásnak. A kivonás akkor válik az összeadással
egyenrangú műveletté, amikor az aritmetikai egy
megszűnt a transzcendens Egy, a kezdet szimbóluma lenni, s mint az Egy
hatóköréből kivont szerszám, attól függetlenül, önállóan kezd funkcionálni.
Amint a matematikai (eszközösítő) műveletek túlsúlyba kerülnek a transzcendáló
erőkkel szemben, a relatíve transzcendáló mozzanatok, műveletek (az 1, a
hozzáadás, a növekedés) és a démonikus mozzanatok, műveletek (a 0, a kivonás, a
csökkenés) poláris szembefeszülése egyenértékűséggé értelmeződik át. Ahogyan a
kivonás és az összeadás értékkülönbsége háttérbe szorul a matematikusok
tudatában, úgy szűnik meg az egy kiindulópontként, kezdőszámként
funkcionálni. A „tiszta matematikában”
a nulla sokkal természetesebb, mert közömbösebb kezdőszám.
Tovább |
2. A nulla a matematikai szemlélet ősképe. - Az aritmetikus válasza
Gondolatmenetedből számomra két pont különösen fontos. Az első az, hogy a nulla
összefügg az izolációval, a halállal, a kiszakadással, a nemtudással. Ezt
elfogadom létező összefüggésnek. A kérdésem csak az: vajon ezzel van-e telítve
is? Kimerül-e ezekben a nulla tartalma? Hiszen - és ez a második pont - a
nullát te sem a „semmi” egzisztencialista, nihilista nyelvén, és nem is a
negatív teológia nyelvén elemezted, hanem a platoni-plótinoszi-cusanusi Egyen
mérted. Számomra már az is a nulla értékét
fejezi ki, hogy Egy-derivátumként értékeled! De továbbmenve azt kérdezem - mert
ebben az irányban mintha nem igazán kérdeznél, hanem csak úgy, mint akinek
eleve elhatározott válasza van arra, amit kérdez -: nem lehet-e, hogy a nulla
kétpólusú? Nem lehet-e, hogy az izoláció és a kiszakadás, amelyről te beszélsz,
csak az egyik pólus, és van a nullának egy ezzel ellentétes pólusa is? Nem
lehetséges-e, hogy a szám-egy az Egynek még mítoszburokkal körülvett képe a
matematikában, és vele szemben a nulla a logizált,
logosszal átitatott (dinamizált) Egy, a valódi matematikai Egy-kép? Nem
lehetséges-e, hogy a nulla a szám-egytől nem a széttartás és eltűnés (nemlét)
világa felé mutat, hanem az erősebb Egy-tudatosság, az Egy megkülönböztető és
osztó ereje, azaz a logosz irányába? Nem lehetséges-e, hogy a szám-egyen még
magától értetődően rajta van egy mítoszburok, amin át kell törni, hogy valódi
jelentéséhez, végső tartalmához, a platoni, dialektikusan kutatható Egyhez
jussunk? ...
Ami a mítosz, a megbontatlan szimbólumvilág perspektívájából nézve „semmi” vagy
démoni erő, az a mítosz burkát feltörő szellem energiájával megragadva lehet a
Egy megkülönböztető és osztó ereje, a logosz. ...
A nulla-gondolat a művészetben forma-aszkézist, a matematikában éppen
ellenkezőleg formagazdagodást jelentett. Mert ahol a művész képzelete a
látható, az egyedi kép konkrétságát
hiányolja, mintegy képszomjban szenved, a matematikus képzelete ott mozog a
leggyorsabban, a legotthonosabban. Az
1-0 polaritás az empíria és az elmélet,
a képi és a metaforikus gondolat, a művészet és a matézis polaritásának, végső
soron a szimbólum és a logosz polaritásának és e polaritás problémáinak a
matematikai leképezése. A nulla-gondolat a művészetben „természetellenes” - ezért is volt
forradalmi mozdulat hozzányúlni. Ez a mozdulat kifejezte és erősítette a festők
öntudatát; fókuszba gyűjtötte a robbanásszerűen felszabaduló óriási energiákat.
(Malevics mellett Kandinskyra és Vajda Lajosra is gondolhatunk.) A
matematikában ugyanez a mozdulat „természetes”, ezért folyamatosan, fokozatosan
hagyománnyá nőtte ki magát, és öntudatot fokozó ereje, sőt forradalmisága is
csak ezen keresztül, évszázadok során derült ki, annak függvényében, ahogyan a
mindenkori élmatematika egyre újabb perspektívákat nyitott, ahogy egyre
mélyebbre hatolt a nulla-gondolatba.
Az elmúlt évezred szinte minden avantgarde matematikai lépése döntően
kapcsolódik a nullához. Csak hármat emelek ki: az ismeretlen jelének, az origó-pontnak
és a változónak a bevezetését a matematikában.
Tovább
|