Surányi László
Szabadság és geometria: logosz és ananké harca a geometriában
– Megjegyzések Tóth Imre Bolyai-értelmezéséhez –
Tartalomjegyzék
Bolyai János a magyar szellem történetének kiemelkedő alakja, a magyar szellem talán első univerzális jelentőségű lángelméje. Jelentőségével azonban csak kevesen vannak tisztában.[1] Konfliktusokkal teli élete és művének a geometria és általánosabban a matematika történetében játszott forradalmi szerepe ugyanis egyaránt mélyebb problémára mutat. Amikor Tóth Imre, aki évtizedek óta szenvedélyesen kutatja a nem-euklideszi geometriák kialakulását, elemzései középpontjába a szabadság, a teremtés és a matematika viszonyát, s ezzel együtt a matematika dialektikus oldalát állítja, akkor a Bolyai-kérdést kiragadja mind szakmai mind biográfiai korlátozottságából, hogy a legegyetemesebb és ma is aktuális legforróbb magját ragadja meg. Márpedig a matematikatörténeti kutatásokban ritkán szokás a forró problémákat akár csak létező problémának is elismerni. Ezért érdemes közelebbről megismerni és elemezni Tóth Imre gondolatait, akinek kutatásairól régóta tud ugyan a szűkebb filozófiai, matematika- és filozófiatörténeti közvélemény, de magyarul csak most, mintegy harminc év késéssel kezdenek megjelenni írásai, a de interpretatione című írása (a továbbiakban: DI) után egy tanulmánykötete Isten és geometria címen (a továbbiakban IG), a Palimpszeszt című könyve és egy interjú-kötet (Zsidónak lenni Auschwitz után). A sort a jelen kötet a Bécstől Temesvárig: Bolyai János útja a nem-euklideszi forradalom felé c. tanulmány magyar fordításával folytatja (ahol nem jelezzük a Tóth Imre-idézet helyét, ott ebből idézünk).
Mint ismeretes, Euklidész a következőképpen építi fel a geometriát. Először definiál bizonyos egyszerű fogalmakat – ilyen például a pont, az egyenes, a sík –, majd segítségükkel megfogalmaz néhány egyszerű, magától értetődőnek tekintett és világosan áttekinthető állítást. Ezeket részben axiómáknak, részben posztulátumoknak (követelményeknek) nevezi. Ma – némileg önkényesen – az összes ilyen állítást axiómának szokás nevezni. Euklidész minden további állítást ezekből az axiómákból vezet le. (Eközben, mint azóta kimutatták, kimondatlan axiómákat is használ és axiómaként kezel bizonyítható állításokat. Az alapfogalmak definiálásánál is fennáll a rossz kör lehetősége. Mindez nem változtat azon, hogy az Elemek az első fennmaradt axiomatikus igényű matematikai mű.)
Euklidész első két posztulátuma például azt követeli, hogy bármely két pont legyen összeköthető egyenessel, és bármely szakasz legyen egyenes vonalban meghosszabbítható a végpontjain túl is. Az ötödik posztulátum a nevezetes párhuzamossági posztulátum (axióma), melynek abszolút igazságát Bolyai, Gauß és Lobacsevszkij forradalma végképp megingatta. Megmutatták ugyanis, hogy a tagadására is lehet érvényes geometriát építeni – a többi axióma érvényben hagyása mellett. Ezzel aláásták azt az addig megingathatatlannak tartott hitet, hogy a tér geometriai szerkezete egyértelmű objektív adottság.
Pedig az euklideszi geometria egyedülálló tekintélynek örvendett. Mint látni fogjuk, mélyen a görög világfelfogásban és szemléletmódban gyökeredzett ugyan, mégis hatalmas volt a tekintélye nemcsak a görögöknél, hanem a középkorban és az újkorban is. Tekintélyét az sem ingatta meg, hogy – és erre vonatkozóan Tóth Imre számtalan adatot tár fel tanulmányaiban – az antieuklideszi gondolat mindig újra felbukkan az európai kultúrtörténetben. (Érdemes volna megvizsgálni az antieuklideszi gondolat felbukkanásának összefüggését azzal, amit René Hocke a manierizmusról írt könyvében „ázianizmusnak” nevez, s ami szerinte az „atticizmus” ellenpontjaként mindig újra megjelenik az európai művészet történetében.) Maimonidész és Szent Tamás is kiáll az euklideszi geometria csorbítatlan tekintélye mellett, az Aquinói egész határozottan és élesen fogalmaz: „Isten nem tehet olyan csodát, hogy a háromszög három szögének összege ne legyen két derékszög”. Hasonló példák hosszan idézhetők az újkorból is. „Voltaire – legalábbis ami a geometriát illeti – egyetértett Tamással”, jellemzi az euklideszi gondolat tekintélyét Tóth Imre.
De honnan van akkora tekintélyük az euklideszi axiómáknak, hogy a zsidó–keresztény Isten tekintélye sem tudja felvenni velük a versenyt? A kérdés nyilvánvalóan közeli kapcsolatban áll azzal a kérdéssel, amely Sesztov Athén és Jeruzsálem című művében a középkorról szóló fejezet középponti kérdése (217skk.): „A görög igazságkutatás a kellre, a szükségszerűre irányul, vagyis a szigorúan bizonyított, kényszerű ítéletekre” – de miért van a középkori vallásos filozófiában is nagyobb tekintélye az istenek számára is megfellebezhetetlen szükségszerűség (ananké) görög gondolatának, mint a biblikus igazságfelfogásnak, amely szerint az igazságnak is Isten az alapja? „Nem az igazság az Isten, hanem Isten az igazság”, fogalmaz Rosenzweig A megváltás csillagában (3. rész 166), „az ő lénye az igazság alapja, … ő maga a tiszta fény, amely megvilágítja az igazságot.”
A válaszhoz meg kell vizsgálnunk, hogy milyen világszemlélet ölt alakot a párhuzamossági axiómában – vagy talán az egész euklideszi geometriában. Nem elég a párhuzamossági axióma és az euklideszi szemlélet tekintélyét aláásni, túl kell nőni rajta, s ezt csak úgy lehet, ha megértjük a benne alakot öltő világfelfogást. Tóth Imréhez hasonlóan minket sem az új rendszer formális elismerése és megértése érdekel, hanem a születéséhez vezető világnézeti–szellemi fordulat megértése. (Itt említjük meg, hogy Tóth az új gondolatért folytatott harcot mindig a nonkonformistáknak a konformisták ellen folytatott harcaként mutatja be. Úgy is fogalmazhatunk, hogy szerinte a nem-euklideszi szemlélet a bálványrombolás hagyományát közvetíti a geometriában.)
A fordulat megértéséhez mindenek előtt az axiómák természetét kell közelebbről szemügyre vennünk. Az axiómák és posztulátumok ereje abban van, hogy a szellemi–lelki–testi valóságban meglátott mély törvényszerűségeket egyszerű, szemléletes, magától értetődőséget sugárzó és könnyen alkalmazható formában fogalmazzák meg. Így például Euklidész első két posztulátuma az irány kontinuitását, töretlenségét mondja ki. Bármely két pont összeköthető egyenessel – azaz a valóság bármilyen távoli pontjai között létesíthető kapcsolat az irány megtörése nélkül.
De mit jelent itt a „pont” és az „irány”? Szabó Lajos mutat rá nyelvmatematikai előadásaiban, hogy a geometriai axiómák értékelésénél nem tekinthetünk el attól, hogy a pont a közvetlen tapasztalat egészén, a logikai–etikai–esztétikai értékelés örvényszerű egységén belül létező pont, egész valóságunk erővonalainak egy belső struktúrával rendelkező metszéspontja.[2] Nincs izolált geometriai pont. Ha a geometriai pontot mégis izolálni próbáljuk a logikai–etikai–esztétikai tapasztalás és értékelés egészétől, ezzel eltorzítjuk a valóság belső arányait, így geometriai arányait is. A pont geometriai értelmezésében a teljesség igényű értelmezés ütközik a pont izolálására törekvő értelmezéssel. Az utóbbi végső konklúziója a halmazelméleti pont: vagyis törekvés arra, hogy a valóság pontjait űrrel válasszuk el egymástól és a valóság örvényszerű egységétől. Ahogyan a pont, ugyanúgy az irány fogalma sem izolálható: a geometriai irány és iránytér csak az egyik vetülete szellemi–lelki–testi egzisztenciánk irányának illetve irányterének. Ez utóbbi szab irányt a geometriai irányfogalomnak is. (Hasonló mondható el természetesen nemcsak a pontról és az irányról, hanem a többi centrális geometriai fogalomról is.)
A XX. századi logikai elemzés kimutatta, hogy a fenti axióma – a legtöbb axiómához hasonlóan – létezést fejez ki: azt mondja ki, hogy bármely két ponthoz létezik a két pontot összekötő egyenes. Ebbe a létezésbe azonban bele van komponálva szabadságunk, tehát az, ami körül Tóth egész gondolatmenete forog. Ami valamely dimenzióban egyenesvonalú mozgásra – vagy egyenesen sugárzó megnyilatkozásra – képes, az ezzel „tanúsítja, hogy megszabadult az őt körülvevő rendszer minden zavaró befolyásától, tehát a rendszer fölött áll”, mondja Baader A villámról, a fény atyjáról című tanulmányában. Azt tanúsítja, hogy a valóságnak ebben a dimenziójában szabadon tud mozogni, töretlen erővel tud kapcsolatot teremteni a legtávolabbi pontok között is. – Minden dimenziónak megvan tehát a maga geometriája. – Az egyenes létezésébe bele van komponálva a kutatóknak illetve a kutató közösségnek az a szellemi tevékenysége, hogy akadálytalanul, sőt szabadon teremt illetve lát meg egyértelmű, világos kapcsolatot a valóság e dimenziójának távoli pontjai között, ezzel erősítve saját iránytudatának kontinuitását. Az egyenes baaderi értelmezése szerint az egyenes két mozzanat egységét foglalja magában. Az egyenest megalapozó mozdulat előszöris a koncentráció és az áttörés mozdulata. A magasabb dimenzió valósága először egy ponton áttöri a szabad mozgását akadályozó ellenállásokat és „megveti a lábát”. Az egyenes másrészt ennek az áttörő szabadságnak a kontinuus, töretlen érvényesítése. Áttörés és kontinuitás egysége. A koncentráció révén „a megnyilvánulni akaró” úgy „szabadul meg a körülvevő rendszer zavaró befolyásától”, hogy a rendszerben széttartó, önállósulásra vagy kiszakadásra törekvő erőket saját kohézióját erősítő belső ellenállássá transzformálja. Áttörni pedig azért tud, mert a szabad megnyilvánulását, hatókörének tágítását gátló ellenállásokat a szabad önkifejtés eszközévé alakítja át, bevonja annak drámájába.
Van az egyenesnek egy ezzel ellentétes jelentése is. Az egyenesvonalú mozgás lehet a tehetetlenség, az irányt változtatni nem tudás jele is, az áttörés meg nem történésének a kontinuitása. Ezt a mechanikus egyenesvonalú (és egyenletes) mozgást írja le Galilei törvénye. (Itt a tárgyon kívül vannak azok az ellenállások, akadályok, amelyek a tárgy egyenesvonalú mozgását zavarják. A tárgy csak addig haladhat egyenes vonalban – és egyenletes sebességgel –, amíg a körülvevő rendszer nem érvényesíti vele szemben gátló erejét.)
Az egyenes értelmezésében e két jelentés harcol egymással. Már ezért sem várhatjuk, hogy az axióma igazolja szabadságunkat. De még inkább azért nem, mert ez az alany tulajdonságának a tárgyra vetítése és a tárgy tulajdonságának az alanyra vetítése volna, amit Sankara joggal tart minden tévedés forrásának a Brahma-szútra magyarázatának bevezetőjében. Épp fordítva: az axióma igazságát, és nem puszta érvényességét csak olyan kutató közösség igazolhatja, amelynek tagjai egymásra és egymás felismeréseire – tértől és időtől függetlenül – igent tudnak mondani, s ez az igenmondás a másik gondolatainak értő–értékelő elismerését, elsajátítását és továbbgondolását jelenti, tehát az egész közösség közös irányának kontinuitását erősíti. Vagyis az axióma igazsággá csak olyan szellemi közösség révén válik, amelyik éli ennek az axiómának az igazságát. Ez a közösség mint alkotók és befogadók, irányt szabók és követők alkotó-értelmező közössége a konkrét alany, amely képviseli „a geometria transzcendens szubjektumát” és „szabadon dönthet az axióma igazságáról”. Csak az ilyen közösség képes irányt szabni a geometriai iránynak és iránytérnek.
A tudományos kutatás annak (is) köszönheti hatékonyságát, hogy képviseli az egyenes axiómáját, vagyis az egyes tudósok folytatják egymás kutatását, felhasználják egymás eredményeit, elvben mindig, gyakorlatban is sokszor. Igaz, kisebb ellenállások között és gyengébb szimbólumérzékenységgel, mint a linearitás iránt általában gyanakvó romantika. A romantika, mint Szabó Lajos írja Biblia és romantika című írásában, olyan „költők, művészek és gondolkodók rendkívül sűrített fellépése”, akik mélyebb ellenállások felé törtek utat, „egyetemes utak kiásását kezdték meg”, a legmélyebb szellemi „hagyomány fonalát próbálták meg újra felvenni”. Ez a romantika pozitívuma. Míg azonban „a bibliai egyéniségek, karakterek vagy küldöttek téren és időn túl szolidárisak, addig a romantikus periódus alkotóit az egymásról nem-tudás, az egymást-nem-folytatás, az egymásra-igent-nem-mondás jellemzi.” Ezzel függ össze, hogy egyébként igen erős szimbólumérzékenységük – talán Baader és Novalis kivételével – nem terjed ki az egyenes jelentősége iránti érzékenységre.
Mindezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy csak olyan közösség tud nagyobb súlyt adni s ezzel új irányt szabni a geometriai axiómának és az egész geometriai iránytérnek, amelyik a valóság mélyebb és komplexebb ellenállásait sűrítő pontjai között képes töretlen kapcsolatot létesíteni. S ezzel már közelebbi témánk, a Bolyai–Gauß–Lobacsevszkij-féle geometriai fordulattal kapcsolatos problémák középpontjában vagyunk. Az ő úgynevezett hiperbolikus geometriájukban ugyanis sokkal „nehezebben” találkoznak az egyenesek.[3] Nagyobb a pont ellenállása, amelyet az irány tartásához le kell legyőzni, s ez megnöveli az egyenes súlyát. Bolyaiék a romantikához hasonlóan nagyobb ellenállású pontok felé törnek utat. (Később azt is látni fogjuk, mitől nő meg náluk a pont ellenállása.) De ők szükségképpen érvényesíteni akarják azt a matematikai követelményt, hogy a nagyobb ellenállású pontok között helyre kell állítani az igentmondás folytonosságát is. A kérdés az, hogy mennyiben sikerült ehhez újraértelmezniük a pontot, az egyenest és az irányt, vagy mennyiben sikerült ez az ő kutatásaik alapján a szűkebb matematikusi, a tágabb tudományos vagy a még tágabb szellemi közösségnek.
Az egész geometriai forradalom megértéséhez nélkülözhetetlen annak a megértése, hogy milyen irányt és iránytudatot fejez ki a középpontjában álló axióma, Euklidész párhuzamossági posztulátuma. A kérdés azért is jogos, mert a többi euklideszi axiómával ellentétben, amelyet az ókortól kezdve magától értetődőnek és egyértelműnek tekintettek, a párhuzamossági axiómában, mint Tóth elemzéseiből láthatjuk, már az ókori gondolkodók is éreztek valami ambivalenciát. S valóban, a párhuzamossági axióma (vagy posztulátum) hordoz is magában egy látens eldöntetlenséget.
Mit mond ki ez a posztulátum? Ma leginkább abban a formában használják, ahogyan Ptolemáiosz megfogalmazta: ha adott egy e egyenes és egy rajta kívül fekvő P pont, akkor P-n keresztül pontosan egy olyan f egyenes húzható, amely nem metszi e-t. Bebizonyítható, hogy (ha egy ilyen egyenes van, akkor) ennek az egyenesnek az e-től vett távolsága állandó.[4]
A párhuzamossági posztulátum feltételezi, hogy az egyenes végtelen. (Enélkül nincsenek egymást nem metsző egyenesek, ahogyan például a gömbi geometriában sincsenek.) Ezzel azonban döntően megváltozik az irány fogalma. Az irány: mutatás. A közös irány: közös pontba mutatás. S a mítoszközösség zárt körén belül a középpontba mutató sugarak iránya a közös irány.[5] Az egyenes végtelenségének posztulálásával azonban a párhuzamos egyenesek iránya lesz a közös irány. A párhuzamos egyenesek tehát olyan egyenesek, amelyek iránya közös, ám a közös pont, amelyre mutatnak, a nemlétbe van kitolva. De úgy is mondhatjuk: a síkon „túlra”. Ez az első kétértelműség. Ha azt mondjuk, hogy a síkon „túlra”, akkor azt fejezzük ki, hogy a közös pont, amelyre a két egyenes mutat, minőségileg különbözik a sík pontjaitól, a sík alakzataihoz képest „transzcendens”, a sík pontjaihoz képest minőségileg új dimenziót jelent. Következésképp a rá mutató közös irány, s így a párhuzamosság is nagyobb súlyt képvisel: ehhez a „transzcendenciához”, vagy magasabb dimenzióhoz való viszonyt jelöli. A közös pont, amelyre a párhuzamosok mutatnak, minőségileg más, de ezt a létező másságot a geometria nem tudja létezéssel, valóságos jellel kifejezni. Ehelyett azt állítja: a közös pont nem létezik. A párhuzamosokban van valami rejtett ellenállás, a közös irány ellenére valami ellentmondás lappang közöttük, ami örökre lehetetlenné teszi, hogy közös pontban találkozzanak.
Hogy milyen ellenállásról van szó, csak akkor érthetjük meg, ha először megértjük azt a fordulatot, amelyet az egyenes végtelenségének posztulálása jelent. Ez a posztulátum a logosz mozdulata, a szabadságé: az egyenesben kifejezett szabadság (Baader) hatványozása, sőt végtelenítése. Az egyenes végtelensége azt a töretlen lendületet fejezi ki, amellyel a logosz áttöri a mítoszt szimbolizáló kör zártságát. „A mítosz a logosz burka”, írja Tábor Béla Szabó Lajosról írt tanulmányában (49).[6] „A logosz az, ami elgondolhatóvá tesz. De a mítosz burkába zárva nem teheti elgondolhatóvá a legnagyobb elgondolható létezését: a mítosz lényegéhez és erejéhez tartozik, hogy határt szab az elgondolhatóságnak. Hogy a logosz elgondolhatóvá tesz, azt jelenti: átjeleníthetővé tesz; gondolkodni annyi, mint az elgondolandó gondolat Ariadne-fonala mentén egyre mélyebbre hatolni jelenünkbe.”
Próbáljuk a párhuzamossági axióma kapcsán elgondolni, tehát átjeleníteni azt, amit ez a mondat magában foglal. Az egyenes végtelenségének posztulátumával a logosz át akarja törni azt a határt, amelyet a mítosz „szab az elgondolhatónak”. A párhuzamossági axióma viszont azt jelzi, hogy a végtelen egyenes elgondolása ellenállásba ütközik: olyat (olyan pontot) kellene elgondolnia és jeleznie, ami a sík pontjaihoz képest transzcendens. A logosz saját belső törvényéből következik, hogy ilyet kell elgondolnia, a logosz ugyanis nem nyugszik addig, amíg a legnagyobb elgondolhatót el nem gondolja. Márpedig a legnagyobb túl van a nagyobb-kisebb relativizmusán, mondja Cusanus A tudós tudatlanságban (I.5.13). A párhuzamos egyenesek irányában implicite bennefoglalt közös pont is túl van a sík pontjainak régióján. Ez a közös pont a síkon megjeleníthetetlen tehát – másrészt mégis megjelenítendő.
A logosz tehát saját belső törvényéből következően ütközik ebbe az ellentmondásba. A párhuzamossági axióma a közös iránnyal meg is jeleníti ezt az ellentmondást. De a kettősség világába zárva, s ezzel feloldhatatlanságba zárva jeleníti meg: két, örökre elválasztott egyenes közös irányaként. Ami egységüket adja, a közös pontjukat, amelyre közös irányuk mutat, tehát közösségük alapját csak implicite jelzi, azaz elrejti. Megjeleníti az ellentmondást – egyszersmind rögzíti a kettősség világában, nem vezeti vissza mélyebb ellentmondásra. Az egységet pedig – a kettőben rejlő közös egyet – nem átjeleníti, hanem a minden jelentől elzárt kutathatatlan távolba tolja ki.[7] A párhuzamossági axióma ezért kénytelen a logosz belső törvényével szembeni ellenállást leküzdhetetlennek deklarálni.
Érdemes másképp is megfogalmazni a párhuzamosok képébe foglalt ellentmondást: a párhuzamosok olyan létezők, amelyek a bennük levő közöset csak úgy tudják kifejezni, ha megmaradnak egymástól egyforma távolságban közeledés és távolodás, találkozás és búcsú nélkül.
A közös pont, amelyet az egyenes végtelenségét posztuláló geometria a) implicite feltételez, b) mégis nemlétezőnek tekint, két szféra találkozási pontja: a minden, a nagyobb-kisebb relatív világában elgondolhatón (geometriailag: a sík pontjain) túli legnagyobb elgondolható és a végességet áttörő, a kettősség és az ellentmondás rögzítettségét folytonosan oldó gondolkodás találkozási pontja volna. A közös pontot létezővé avatni s egy új geometriai szemlélet kiindulópontjává tenni csak olyan közösségen belül tudná, amely ezt a pontot valóságos találkozási pontként (azonossági pontként) gondolja el (Subjekt-Objekt azonosság). A legnagyobb elgondolhatót elgondolni azt jelenti: ennek a találkozásnak (azonosságnak) a tartalmát meg- és átjeleníteni, itt és most elgondolni, a jelen tartalmává tehát elgondolását és kutatását tenni.
Az átjelenítéshez egészében jelenvalóvá kellene tenni azt az ellentmondást, amelyet a párhuzamossági axióma csak egyik oldaláról, a kettősség oldaláról nézve jelenít meg. Ezzel olyan nézőpontot rögzít, amely eleve belenyugszik abba, hogy a közös pont, az egységpont „végtelen távol” van; hogy a (végességben rögzített) „itt”-pont(ok) és e közös pont között feszülő ellentmondás eleve feloldhatatlan és nem kutatható; az egység oldala felől nem jeleníthető meg. Ezért nem tudja a pontot mint találkozási pontot, mint a Subjekt-Objekt azonosságnak itt, a jelenben a síkba való betörését elgondolni, a pontot transzcendencia és immanencia metszéspontjaként elgondolni. (A Descartes révén filozófiai jelentőséget nyerő analitikus geometriában ilyen pontként gondoljuk el a koordinátarendszer kezdőpontját, más néven: origóját – erre még visszatérünk.)
Az átjelenítés útjában áll egy hatalom, amely a görög tragikus látásmód szerint megközelíthetetlen. A halhatatlan olümposzi istenek és a halandó, véges emberek világát elválasztó törvény hatalmáról van szó, amely személytelenebb az istenek hatalmánál, megközelíthetetlen, kérlelhetetlen, vak szükségszerűség, ananké. Az olümposzi világtól is független, nála is hatalmasabb: „a végzetet bizony ki [Zeusz] sem kerülheti”, hirdeti Aiszkhülosz Leláncolt Prométheusza (518. sor). S ez nemcsak a mítosz világában érvényes. A létezőt Parmenidész szerint is „a hatalmas Ananké” tartja „a határ kötelékében”, nem önmaga (8. töredék, 30-31. sor). A „hatalmas Ananké” zárja el és teszi hozzáférhetetlenné azt a pontot, ahol a két világ érintkezhetne, és kutathatatlanná a hozzá vezető utat. A logosznak ezzel a hatalommal kell megküzdenie. Pontosabban azzal a hipnózissal, hogy szükségszerűen bele kell nyugodnia a párhuzamosok képében (is) rögzített ellentmondás kutathatatlanságába. Amíg ez a szükségszerűség az úr, addig az isteni magjában is, az ember magjában is hozzáférhetetlenül elzárva marad valami, aminek az a rendeltetése, hogy áttörje ezt a zártságot.
A saját magányuk fenségébe zárt „Selbst”-ek Rosenzweig által leírt világa ez.[8] A közösség tagjai együtt, de egymástól áthidalhatalan távolságból szemlélik azt, ami a közös múltból a régmúlt, a közösen várt jövőből pedig az elérhetetlen távol ködös mítoszaiba vonult vissza. A közösen szemléltet sem közös genezisként, sem közös megváltásként nem tudják megjeleníteni.
A végtelenített párhuzamosság tehát a görög tragikus látásmódban fogant. A tragikum ellentmondást és eldöntetlenséget rejt magában. Rejtett ellentmondás van a végtelen egyenes posztulátuma és a párhuzamossági posztulátum között. Az irány szilárdsága egyrészt az ideák transzparens világában van megalapozva, másrészt mégis a vak, áthatolhatatlan szükségszerűségben. Nincs eldöntve: melyikben. Eldöntetlen marad, hogy a párhuzamos egyenesek a logosz szabadságát vagy az ananké hatalmát fejezik-e ki. A végtelen egyenes a szabadságot végteleníti és a logosz igényét fejezi ki a legnagyobb elgondolható elgondolására. A párhuzamossági axióma viszont a párhuzamosságot, a benne levő eldöntetlenséget és az ananké hatalmát végteleníti.
A görög szellem (logosz) erejét jelzi, hogy a tragikumot és eldöntetlenséget rejtő axiómára mégis egy pozitív geometriai világot tud építeni. A közös pont a nemlétbe van vetve, de annál nagyobb hangsúlyt kap a közös irány. A párhuzamosok távolsága nemcsak megszüntethetetlen, sőt változtathatatlan, hanem áthidalhatatlan is – ebben az irányban. De az euklideszi geometriában, és csak ott, az egyenesek közös iránya folytán van mindkettőre merőleges egyenes, amely – nem szünteti meg, ám – „áthidalja” a közöttük levő távolságot. A logosz a párhuzamosokra állított merőlegessel mintegy átvágja a párhuzamosokban jelzett feloldhatatlan ellentmondást, relativizálja az ananké hatalmát, s kijelöli azt az irányt, ahonnan megtörhető e hatalom. (Igaz, saját szabad mozdulatát is relativizálja: a merőleges egyenes is a párhuzamosság ugyanazon törvényének engedelmeskedik.) S végül az euklideszi párhuzamossági axiómára felépíti a hasonlóság, az összehasonlíthatóság és az arányok világát. Az euklideszi párhuzamossági axiómából, és csak abból következik, hogy vannak hasonló, de nem egybevágó háromszögek, tehát olyan háromszögek, amelyek megfelelő szögei egyenlők, és oldalainak arányai egyenlők. Bármely alakzat korlátlanul nagyítható és kicsinyíthető úgy, hogy arányait megtartja.
A párhuzamossági axióma tehát megjeleníti a görög logosz leküzdetlen belső ellenállásait, de a pozitív erőit is, amelyek biztosítják a görög szellem produktivitását. Tábor Béla egy, az idézett Bolyai-tanulmányomról folytatott beszélgetésünkben az euklideszi párhuzamossági axióma ptolemáioszi átfogalmazását a platonizmus újjáéledésével hozta kapcsolatba. Interpretációja szerint az e egyenes (a „felső” egyenes) az ideák világát képviseli, a rajta kívül fekvő P pont az individuális emberi lét egy pontja. Ezen a ponton keresztül egyetlen olyan egyenes húzható, amelynek iránya közös az ideavilág irányával. A koriszmosz, az ideavilág és az emberi lét közötti áthidalhatatlan szakadék nem szűnik meg, de van egy és csak egy irány, amelyet követve soha nem kell távolodnunk az ideavilágtól. A távolság állandó marad, mindig az ideavilág vonzási körében maradunk: ennek az egyenesnek az iránya közös az ideavilágéval. Az axióma egybefoglalja a görög létinterpretáció jellemzőit: a tiszta koriszmosz-tudatot és ennek tragikus értelmezését, egyszersmind rámutat arra az erőre is a görög logoszban, amely a tragikumot ugyan nem oldja fel, de ellensúlyozza.
Nem csoda, hogy az euklideszi axióma, amely ilyen szemléletes és geometriailag hatékony formában képviseli a görög szellem egészét, a vele szemben időről időre felmerülő kételyek ellenére lassan az igazság, a szükségszerű, örök, változtathatatlan és tovább nem elemezhető igazság tekintélyére emelkedett. Az viszont meglepő, amire Tóth Imre mutat rá, hogy ezt a tekintélyt a középkor és az újkor is nagyrészt elfogadta, sőt, ha lehet, fokozta is. „Még Isten sem képes arra a csodára, hogy olyan háromszöget teremtsen, amelyben a szögek összege nem 180°”, idéztük Tóth nyomán Aquinói Szent Tamást, de idézi a Descartes-tal vitatkozó Cudworth-t is.[9] Az örök nemtalálkozás, a feloldatlan görög tragikum a középkori gondolkodásban is a szükségszerű igazság attribútumát kapta.
„A görög igazságkutatás a kellre, a szükségszerűre irányul, vagyis a szigorúan bizonyított és ellenőrzött, kényszerű ítéletekre. … De honnan ered ez a kell, ez a szükségszerű, amely átitatja az emberi gondolkodást?” kérdezi Sesztov. És miért nem teszi fel ezt a kérdést a középkori gondolkodók túlnyomó többsége sem? Ami a létezés törvényeinek ellentmond, az Isten számára is lehetetlen, vallja nemcsak Arisztotelész, hanem szinte egybehangzóan az egész középkor is. Ezzel azonban a létezés törvényeit fölébe helyezik annak, aki a létezés forrása – következésképp a létezés törvényeinek is forrása. Így nincs honnan rákérdezniük a szükségszerűség eredetére. A létezés – sőt: a meglevő – törvényeinek kutatása pedig háttérbe szorítja a teremtés örvényeinek kutatását.
Az a kutató tehát, aki behatóbban kezd foglalkozni a párhuzamossági axióma problémájával, nem egy izolált geometriai problémával találja magát szemben. Ha van szimbolikus érzékenysége, tudatosan, ha nincs, öntudatlanul fel kell vennie a küzdelmet az ellen, hogy a szükségszerű, mozdíthatatlan igazság attribútumával van felruházva az örök nemtalálkozás és a párhuzamosságban rejlő kétértelműség.
Ismeretes, hogy e kétértelműség kiküszöbölésére már évszázadok óta folytak kísérletek. Taurinus és Wachter pedig közvetlenül Bolyai, Gauß és Lobacsevszkij előtt nekiállt, hogy kidolgozza azt az antieuklideszi rendszert, amely az összes többi euklideszi axiómát elfogadva a párhuzamossági axióma tagadására épül. S itt visszakapcsolódhatunk Tóth Imre gondolatmenetéhez, aki nem áll meg ennél a történeti adatnál, hanem elemzi dialektikus tartalmát. A fentiek alapján az elemzésnek rá kell világítania arra, hogyan szembesülnek ezek a kutatók azzal, hogy a párhuzamossági posztulátumban kifejeződő görög tragikus látásmód az abszolút igazság és szükségszerűség tekintélyével bír. S valóban rávilágít.
E kutatóknak eredetileg talán az volt a céljuk, hogy megmutassák: egy ilyen rendszer ellentmondást rejt magában, vagyis matematikailag nem elfogadható. De ahogyan egyre jobban kidolgozták a rendszert, szembesültek a ténnyel, hogy nem bukkannak ellentmondásra, s talán azt is megsejtették, hogy ilyen módon nem is juthatnak ellentmondásra. Mégsem tudták meggyőzni magukat a kapott rendszer létjogosultságáról.[10]
Mi történt? E kutatók kimerészkedtek az euklideszi
geometria biztosnak vélt terepéről egy olyan területre, ahol – váratlanul –
eddig ismeretlen ellentmondásokkal kellett szembenézniük. Azt remélték, hogy
kutatásukkal az euklideszi világ egyértelműségét fogják megerősíteni, ehelyett
egy eddig ismeretlen kétértelműségre bukkantak: az euklideszi párhuzamossági
axiómára épülő rendszer mellett egy másik, vele egyenértékűnek látszó rendszert
kaptak. Ez ellentmondott az euklideszi egyértelműségnek és saját
várakozásaiknak. Nem merték azonban kimondani, hogy ellentmondást találtak,
mert ehhez el kellett volna hagyniuk az euklideszi geometria
ellentmondásmentesnek vélt s ezért biztonságot és egyértelműséget sugárzó világát.
Az ellentmondást letagadni nem tudták maguk előtt, de csak szubjektíve élték
át. Taurinus elégette műve megmaradt példányait és visszavonult magányába,
Wachter rejtélyes körülmények között eltűnt, talán öngyilkos lett, írja Tóth.
Tóth ezt a kutatói állapotot egy Hegeltől, A szellem fenomenológiájából vett, de szuverénul újraértelmezett kifejezéssel „boldogtalan tudat”-ként jellemzi (Hegel 158skk). Gaußnak is ezzel a boldogtalan tudattal kellett megküzdenie magában: „A nem-euklideszi geometria körüli vita az elméjében zajlott le: Gauß ellenfele Gauß volt, és Gaußnak – aki 1800 óta birtokában volt az antieuklideszi rendszernek – túl kellett lépnie az euklideszi és antieuklideszi rendszer között feszülő engesztelhetetlen vagy-vagy állapotán, s meg kellett győznie a princeps mathematicorumot a nem-euklideszi és euklideszi geometria szimultán igazságáról. Nem könnyű feladat. A boldogtalan tudat állapotától az ember csak úgy tud megszabadulni, ha kettéhasítja önmagát, vitába száll önmagával, szakít önmagával, feladja saját Énjét és az öntudat új, magasabb szintjére emelkedik.”
Mit jelent tehát a „boldogtalan tudat” Gaußnál? Egyrészt – Taurinushoz és Wachterhez hasonlóan – ő is magától értetődően azonosítja magát az euklideszi rendszerrel, a párhuzamosság euklideszi axiómájára felépülő világgal, annak szemléletmódjával és harmóniájával. De miközben ezt tartja az igaz rendszernek, matematikai kutató érdeklődése, sőt szenvedélye ellentétes irányba vezeti. Az euklideszivel ellentétes antieuklideszi rendszer felé fordul, ahol az euklideszi párhuzamossági axióma tagadása érvényes. Nevezhetjük ellentétes rendszernek az euklideszi látószögből nézve. Ugyanakkor azt is mondhatjuk, újabb síkon rámutatva a párhuzamosság fogalmában meglevő ambivalenciára, hogy Gauß érdeklődése az euklideszivel párhuzamosan létező másik rendszer felé fordul. Kutató szenvedélye ennek minél részletesebb kidolgozása felé hajtja. Kettősséggel találja tehát szemben magát. Van egy jól ismert, több évezrede megkérdőjelezetlen tekintélyű igazság, amelyet általánosan elfogad az a kutató közösség, amelybe ágyazottan él. Másrészt kutató énje felfedez egy másik, ezzel az elfogadott világgal ellenkező és vele párhuzamosan létező világot.
Az első feladat ebben a helyzetben az ellentmondás tudatosítása. Ez látszólag megtörtént: Gauß elméjében jelen van mind a két rendszer, s ő – Taurinusszal és Wachterral ellentétben – nem tágít az új, szokatlan rendszer kutatásától. De éppen az okozza a tudat „boldogtalanságát”, hogy túl szűknek bizonyul az ellentmondáshoz. Ez a szűk tér maga az ellentmondás, minden ellentmondás szerkezetéhez hozzátartozik. „Az ellentmondás a tér parazitája”, mondja Tábor Béla[11]. „Nem sugároz teret magából, csak elszív teret más létezőktől. Az ellentmondás olyan, mint a "fekete lyuk": minden teret elnyel, de nem sugároz ki semmi teret.” A feladat első lépéseként olyan tágabb teret kell teremteni, ahol az egymásnak ellentmondó rendszerek és a bennük alakot öltő („metageometriai”) alapállások szabadon megjeleníthetők. Mert „a tér: mozgás a "Másik" felé”, folytatja Tábor Béla. „A "Másik" felől érkező mozgást is ilyen mozgássá – a "Másik" felé irányuló mozgássá – alakítja át.” Tóth így fogalmaz: „A Másik nem kerülhető meg”, ugyanakkor a nem-euklideszi geometria megteremtése előtt „a róla való tudás rejtélyes módon, de kiirthatatlanul van meg a tudatban, mégpedig a saját nemlétezésének és a saját hamisságának a tudata formájában” (IG 395). A Másik létezésének és igazságának kell tehát teret teremteni, egyszersmind a Másik létének és igazságának tudatát kell megteremteni önmagunkban. Ez valóban tér teremtése a fenti Tábor Béla-i értelemben. Tóth itt azt hangsúlyozza, hogy emancipálni kell az eddig csak az euklideszi tagadásaként létező (és mint ilyet elutasított) antieuklideszi rendszert, el kell ismerni mint önálló nem-euklideszi rendszert. El kell ismerni önálló mondanivalóját. Ebből szerinte logikusan következik, hogy fel kell függeszteni a harmadik kizárásának elvét.[12]
Szabadon kell tehát engednünk magunkban, teret kell teremtenünk ennek a „másik”, „párhuzamosan létező” rendszernek. Mindez azonban már nemcsak geometriai feladat. A párhuzamosság fogalma és axiómája, amely eddig csak a geometria szintjén volt jelen, most megjelenik a geometria axiómáinak igazságához való viszonyban is – vagyis azon a szinten, amelyet Tóth Imre metageometriai szintnek nevez. De a párhuzamosság fogalmáról korábban éppen azt mondtuk, hogy rejtett ellentmondásban van a végtelen egyenes posztulátumával. „Bármely két pont között húzható egyenes”: ez az axióma éppen a tér alaptulajdonságát, a „Másik felé mozgás” szabadságát mondja ki, az egyenes végtelenségének axiómája pedig ennek a szabadságnak a végtelenségét. A párhuzamosok nemtalálkozása, találkozási pontjuknak a nemlét és végtelen távol határmezsgyéjére vetettsége viszont ezt a szabadságot korlátozza (végesíti). Másrészt Tóth szerint olyan teret kell teremteni, amelyben az euklideszi és a nem-euklideszi geometria létezése és igazsága párhuzamosan elismerhető. Vagyis: a „Másik felé mozgás” új, metageometriai formáját kellene megteremteni – de rögtön beleütközünk ugyanabba az ellentmondásba, amely ezt a geometria szintjén korlátozta.
Akkor mit nyerünk ezzel? Mit nyerünk az ellentmondás tudatosításával?
Azt nyerjük, hogy a metageometriai szinten nem válik el az ellentmondás objektív és szubjektív oldala. A két rendszer közötti objektív ellentmondás egyben a biztos tudás, a tudás biztonsága és a kutató szenvedély közötti szubjektív ellentmondás is. A kutató szenvedély a tudás biztonságának feláldozására ösztönöz az új, „rejtettebb, mélyebb ellentmondás” kedvéért. („A zseni: emberi törekvés a nagyobb, a mélyebb, a rejtettebb ellentmondás felé”, írja A zseni c. írásában Szabó Lajos.) Nem egyszerűen a nem-euklideszi rendszer számára kell tehát teret teremteni, hanem egyszersmind a kutató szenvedély számára és a szenvedélyesen kutató én számára is. Lambert például ezt írja a nem-euklideszi négyszögről: „hipotézise olyan csábító következményekhez vezet, hogy alig állhatok ellen a kísértésnek, mely igazsága vágyát sugalmazza” (DI 1254). Mégis ellenállt: saját igazságkutató szenvedélyének nem tudott teret teremteni; pontosabban: igazságkutató szenvedélye nem volt elég erős, hogy teret teremtsen magának – az ellentmondás szubjektív és objektív oldala számára is külön maradt.
S ez újabb ellentmondásokat is felszínre hoz, amelyek a kutató én lényegéhez tartoznak. Egyrészt a kutató én számára kell teret teremteni, de ezt csak maga a kutató én – a kutató szenvedély – teremtheti meg. Másrészt önmaga számára csak úgy teremthet teret, ha a Másik számára is teremt teret.
Tóth mindezt úgy jeleníti meg, hogy a kutatónak önmagát mintegy „ketté kell hasítania”, meg kell osztania, vitába kell szállnia önmagával, el kell válnia önmagától (önmagának egy meghatározó részétől), énjét az öntudat új, magasabb fokára kell emelnie. A tudat „boldogtalanságát” az okozza, hogy túl szűk az ellentmondáshoz: hiába van jelen a kutató elméjében az ellentmondás, a birtokolt (euklideszi) igazság jegyében állandóan el kell utasítania magától. Így állandó megosztottságban él, állandóan átéli a tragikumot. Megosztottságát azonban egy pozitívum: a kutató magatartás okozza, az, amit Szabó Lajos nyomán „osztó magatartás”-nak nevezhetünk.[13] Azt az átfogóbb érvényű geometriát, amelyet Euklidész geometriájából a párhuzamossági axióma elhagyásával kapunk – Bolyai nyomán ezt „abszolút” geometriának nevezzük –, s amely aztán kétfelé ágazik annak megfelelően, hogy melyik párhuzamossági axiómát fogadjuk el, éppen az osztó magatartást képviselő én osztja kétfelé, euklideszi és nem-euklideszi (hiperbolikus) geometriára. Ezt az osztó ént a meglévő, ismert euklideszi egység bontatlanságának fenntartása érdekében mégis el kell utasítania magától. Nem az osztó magatartás jelenléte, hanem annak állandó elutasítása okozza a boldogtalan tudatot.
Az osztó magatartást kell tehát emancipálni, el kell ismerni az osztó és kutató én elsődlegességét. Az osztó magatartás itt először is azt jelenti, hogy olyan teret kell teremteni, amelyben az ellentmondás megjeleníthető és elemezhető, vagyis amelyben az egymásnak ellentmondó (ellentétes) rendszerek és a bennük alakot öltő „metageometriai” alapállások szabadon kibonthatók. Bolyai Gaußhoz és Lobacsevszkijhez képest nagyobb ereje éppen abban van, hogy eleve ilyen tágabb térből, az „abszolút geometriából” indul ki. (Egy másik lényeges pontra, ahol Bolyai erősebb, még visszatérek.) Ezt az egységes geometriát osztja fel euklideszi és nem-euklideszi geometriára. Ahhoz, hogy mindkettőt egyenértékű rendszerként jeleníthesse meg, fel kell függesztenie a harmadik kizárásának elvét, hangsúlyozza Tóth. Itt végre tisztán megnyilvánul „a geometriatörténet transzcendens szubjektumának” a szabadsága, mert a harmadik kizárása elvének tagadásával hatékonyan tagadja „az ellentmondás korábban érinthetetlennek vélt törvényének logikai kényszerét”, és új geometriát teremt.[14] „Tagadás, teremtés és szabadság a geometriatörténet transzcendens szubjektumának szentháromságát jelöli” – foglalja össze mondanivalóját Tóth Imre. Tagadás a logikai, teremtés az ontológiai, szabadság az etikai szférában.[15]
Tóth szerint tehát a nem-euklideszi kutató olyan teret teremt, amelyben szabadon dönthet az egyik geometria mellett, és ez nem zárja ki, hogy más szabadon dönthessen a másik geometria igazsága mellett. Csakhogy mindkét geometria, s így mindkét igazság korlátozott érvényű részigazság marad, ha nem foglalja magában a másik igazságát, hiszen az is számára releváns igazságot tartalmaz. Ha itt megállnánk, az eddigi korlátlan érvényű szükségszerű igazság helyére egy szabad igazság lépne ugyan, de ez a szabad igazság korlátozott érvényű volna. Ez a szabadság és a logika ellentmondástörvényének tagadása az osztó magatartásnak és a teljes dialektikának még csak az egyik „fele”. A másik felét is hozzá kell tennünk, hogy teljes legyen: a dialektika az egységes osztása egymásnak ellentmondó részekre – és ezeknek az ellentmondó részeknek egymást-megismerése: így születik mindig újjá az egységes.[16] Nem elég felfüggeszteni a harmadik kizárásának elvét és megjeleníteni a két ellentmondó geometriát, az euklideszit és a hiperbolikusat, elismerni mindkettő igazságát és szabadságát. Egymásnak ellentmondó mondanivalóikat egymásra is kell vonatkoztatni. Mindkettőből meg kell érteni, sőt mindkettőhöz asszimilálni kell a másik mondanivalóit. Nem elég szabad teret teremteni a Másik számára, el is kell jutni a Másikig, a Másik megismeréséig. „Öntudat csak egy másik öntudatban ismerhet magára és elégülhet ki.”[17] Ebből a kölcsönös megismerésből születhetik újjá az egység, az egységes geometria. És csak egy ilyen egységes geometria illetve geometriai szemlélet teremtése lehet a teljes szabadság bizonyítéka. (A teljes dialektika tehát valóban csak felfüggeszti, vagyis ideiglenesen függeszti fel a harmadik kizárásának elvét, a nem teljes dialektika viszont kénytelen örök időkre felfüggeszteni, vagyis kizárni a harmadik kizárásának elvét, ugyanúgy, ahogyan a párhuzamossági axióma örök időkre a nemlétbe tolja a közös pontot. Vagyis a harmadik kizárásának elvét örökre felfüggeszteni azt jelenti, hogy metasíkon elfogadjuk a párhuzamossági axiómát.)
A „boldogtalan tudat” ellentmondásának feloldásához a teljes értelemben vett osztó és kutató én elsődlegességét kell elismerni, korlátlan igazságszomjúságát a kutatás forrásává tenni. A kérdés tehát az, mennyiben történt meg a nem-euklideszi geometriai forradalomban ennek a teljes értelemben vett osztó, kutató énnek az elismerése és felszabadítása – s vele együtt a Másik el- és megismerése.
A válaszhoz először tegyük fel a kérdést: hogyan asszimilálhatja egy geometria, és általánosabban, egy axiómarendszer a vele ellentétes rendszer mondanivalóját? Ez a furcsának tűnő kérdés az axiomatikában is felmerül, ott részben a „modell” ad rá választ. Két rendszer – a formális konzisztencia szempontjából – akkor egyenértékű, ha mindkettő modellezhető a másikban. Ez azt jelenti, hogy mindkét rendszerben meg kell jeleníteni az ellentétes rendszert. Talán az első ilyen tudatos modellkeresés éppen a hiperbolikus geometria felfedezéséhez fűződik: a hiperbolikus geometriában ugyanis van egy olyan felület – az úgynevezett paraszféra vagy „végtelen sugarú gömb” –, amelynek euklideszi a geometriája, s ezt a hiperbolikus geometria felfedezői hamar meg is találták.[18] (Bolyai szellemében úgy is fogalmazhatunk, hogy az abszolút geometriában igaz az, hogy a „végtelen sugarú gömb” geometriája euklideszi. Ez a felület az euklideszi geometriában a sík, a hiperbolikus geometriában azonban „elhajlik a síkól”, olyan – az euklideszi szemlélettel mérve paradox – felület, amelynek nulla a görbülete, mégsem sík.) A hiperbolikus geometriában tehát van szemléletes modellja az euklideszi (sík)geometriának, itt az euklideszi rendszer torzítás nélkül megjeleníthető, asszimilálható. Később Beltrami, Cayley, Klein, Hilbert és Poincaré többféleképpen megmutatták, hogy az euklideszi geometriában is van modellja a hiperbolikus (sík)geometriának. Ezt azonban nem volt könnyű megtalálni. Egyes vélemények szerint Gauß többek között azért nem hozta nyílvánosságra eredményeit (Tóth inkább azt mondaná: sokáig azért nem fogadta el a nem-euklideszi gondolatot), mert nem talált olyan felületet az euklideszi térben, amelyen a hiperbolikus geometria érvényes. Ma már azt is tudjuk, miért nem talált: a hiperbolikus geometriának az euklideszi térben nincs szemléletes modellja, minden euklideszi modellja szükségképpen eltorzítja a hiperbolikus geometria alakzatainak – tág értelemben vett – belső arányait. A két modell tehát nem egyenértékű: míg a hiperbolikus geometriához valóságosan, torzítás nélkül asszimilálható az euklideszi mondanivalója, fordítva ez nem áll fenn. A hiperbolikus geometriában súlyának megfelelően megjelenik az euklideszi – így például jelenléte teszi kezelhetővé, mérhetővé a hiperbolikus geometria komplexebb arányait –, az euklideszi geometriában azonban a hiperbolikus geometria modelljének nincs ilyen központi jelentősége.[19] Az eddig ismeretlen, új geometriai szemlélet a régiben nem modellezhető szemléletesen, csak arányait, alakzatait és jelentőségét patologikusan eltorzítva, hiszen olyan ellentmondásokat is megjelenít és belekomponál saját szemléletébe, amelyek elől az ismert kitér. (A klasszikus zenén nevelkedett és azt „a zenének” tartó zenehallgató azért „nem érti” Bartók vonósnégyeseit, azért hallja torz disszonanciának Bartók, Schönberg, Berg vagy Kurtág harmóniáit, az utánuk jövőkről már nem is beszélve, mert ők ismeretlen ellentmondásokat komponálnak harmóniáikba.) Az új geometriában viszont a régi, az euklideszi szemléletesen megjeleníthető. Ez is mutatja, hogy a nagyobb, jelen esetben a mélyebb ellentmondások felé törekvő kutatás érzékeny marad a kisebb iránt, míg a kisebb nem érzékeny a nagyobb bonyolultabb arányai iránt. (A két modell közötti minőségi különbségről bővebben lásd könyvem 53. és 98-102. oldalát.)
Az Appendix felépítéséből az tűnik kiolvashatónak, hogy Bolyai ezt a szemléletes modellt az új geometria nagyobb erejének és létezésének bizonyítékaként értelmezte. Ez a másik pont, ahol Bolyai János valószínűleg merészebben gondolkodott és messzebbre látott Gaußnál és Lobacsevszkijnél. Ő mintha a hiperbolikus geometriát tekintené az új, egységes geometriának. Kidolgozza a mindkét geometriát (mindkét geometria lehetőségét) magában foglaló abszolút geometriát is: ez az „egységes”, amelyet a párhuzamossági axióma „mentén” két „egymásnak ellentmondó részre hasít”, az ismert euklideszire és a most megismerendő ismeretlen hiperbolikusra. De ettől a pillanattól az ismertre is új szemmel néz: meglátja benne a rejtett ellentmondást, az ismertet újra megismerendőnek látja. (A pillantás annyiban új, amennyiben feloldja az ellentmondás rögzítettségét, magára vonatkoztatja és kutathatóvá teszi.) Az „ellentmondó részek” így ismerhetik meg egymást. A születő új megismerés, új egység képe a hiperbolikus geometria. A születő új megismerés – a Tábor Béla-i átjelenítés – egyben annak az evidenciának a felismerése is, hogy a nagyobb foglalja magában a kisebbet és nem fordítva, s hogy a mélyebb, még ismeretlen ellentmondás feltárásából születő megismerés a már ismert mélyén is új, mélyebb megismerendőt talál.
Ez a megismerés nem az ismertből következik. Egycsapásra tárul fel. Isten sem logikai következtetés alapján dönt az euklideszi és nem-euklideszi tértan között: közvetlenül, egycsapásra ismeri meg a tényleges igazságot ebben a kérdésben, idézi Bolyai gondolatát Tóth. Majd Eckhart mesterrel folytatja: „ami az isteni természet sajátja, az teljes egészében sajátja az igaz, isteni embernek is; ezért az ilyen ember teszi mindazt, amit Isten tesz: vele együtt teremtette az eget és a földet, nemzi az örök Igét”.[20] Vagyis Tóth szerint is az a kérdés, hogy a geometriai forradalom felszabadította-e az emberben ezt a teremtő szikrát. Felszabadította-e a teljes értékű osztó és kutató embert, folytatjuk a kérdést, aki Isten teljes képmásaként maga is egycsapásra ismeri fel az igazságot? Az ő geometriája-e, amit létrehozott?
Nyilvánvaló, hogy a geometriai forradalom egyik hajtómotorja a szabadon kutató én és az aktív kutatás elsődlegességéért vívott harc. Az új geometriai szemlélet csak azért győzhetett, mert a rejtett ellentmondások feltárását, elemzését és az elméletteremtést következetesen előbbrevalónak tartotta a holttá dermedt igazságevidenciák passzív befogadásánál. „A nem-euklideszi világ által teremtett szabadság az ellentmondás korábban érinthetetlennek vélt törvényének logikai kényszerével szemben bontakozott ki”, mondja Tóth. A kérdés csak az, hogy meddig jutott? A kutató én szabadsága magában foglalja az osztó szubjektum elsődlegességét is az osztottsággal szemben. S mint korábban mondtuk, nem várhatjuk, hogy az axiómák igazolják az osztó és kutató alany szabadságát, ez a sankarai „rávetítés (superimposition)”, a tárgy alanyra és az alany tárgyra vetítése volna. Épp fordítva: csak a kutató szabadsága igazolhatja az axiómát, az axióma igazságát.
A geometria, közelebbről a párhuzamossági axióma vonatkozásában ez annak az osztó és kutató szubjektumnak az elismerését jelenti, amely a párhuzamosság fogalmában rejlő ellentmondást feltárja, a benne munkáló ellentétes erőket szétválasztja, magára és magában egyásra vonatkoztatja. A párhuzamossági axióma egyrészt kimondja, hogy a két egyenes által képviselt két világot, a tiszta transzcendens ideák és a véges, határolt individualitás világát, szakadék választja el. Ugyanakkor kimondja azt is, hogy a két egyenes iránya közös, tehát mégis közös pontba mutatnak. Az ebben rejlő ellentmondásról azonban azt állítja, hogy kutathatatlan: a közös pontot a vak és kérlelhetetlen szükségszerűség választja el mindkét világtól. A görög ananké ezzel az osztottságot, az individualitás határoltságát, végességbe és szenvedésbe zártságát is „örök időkre” rögzíti. Aki fel akarja oldani, annak az egész ellentmondásrendszert kell feloldania. S erre csak olyan kutató lehet képes, aki teljes tudatában van annak, hogy e két régió (s nem két külön világ!) határán él, benne ütközik a kettő és a valóságban, amelyben él és kutat. Ha fel akarja oldani a párhuzamosságban rejlő ellentmondásrendszert, nem iktathatja ki eleve tapasztalatából azt az örvényteret, amelyet ez az ütközés gerjeszt. Nem tolhatja az eleve elérhetetlen végtelen távolba, sőt a nemlétbe. Csak akkor oldhatja fel, ha itt és most néz vele szembe, az ellentmondást itt és most próbálja teljesértékűen megjeleníteni és feloldani. Mint saját ellentmondásával néz szembe, hiszen a „geometriatörténet transzcendens szubjektuma” egyben reális szubjektum. Az ellentmondások, amelyekkel meg kell birkóznia, a saját ellentmondásai, amelyeket az ő léte implikál és – jó esetben – az ő léte old fel. (Schmitt J. H. megfogalmazásában az embernek azt az ellentmondást kell feloldania, hogy a tudata végtelen, de az öntudata véges.) A „transzcendens én” nem más, mint a reális én legmagasabb és legmélyebb (identifikációs) szintje. – A metageometriai szemlélet posztulátuma az, hogy ebben az örvénytérben kell érvényesíteni az irány töretlenségét és egyenest húzni bármely két pont között.
Tiszta metageometriai szemlélet tehát csak akkor születik, ha a kutató
szenvedély nem nyugszik meg abban, hogy a két régiót elválasztó törvény
kérlelhetetlen ananké formájában, szükségszerűségként függetlenedik
ettől a tapasztalati örvénytértől. Sőt, ahogy Sesztov mondja, felbont minden
biztos tudást, minden biztonságot és nyugalmat, amely ebben a
szükségszerűségben gyökeredzik és benne keresi a biztonságot és a nyugalmat.
Éppen azt keresi, amit az ananké lehetetlenként kizár, a transzcendencia
áttörési pontjait. Elismeri a két régiót elválasztó szakadékot – ennyit elismer
a két párhuzamos mondanivalójából. Nem relativizálja a transzcendenciát, de azt
kutatja, amit itt és most mond a számunkra. Ettől tágul és tágítható végtelenül
a belső tere, ez teszi képessé a teljes értékű osztó magatartásra.
Nem a nemtalálkozás, hanem a pont végtelen. Az a pont, ahol a két egyenes által megjelenített két régió egymásra vonatkoztatható. És az a geometriai pont, amely ezt szimbolizálja. Amely tehát az osztó magatartást, a kutató ént, annak befelé végtelenül tágítható terét képviseli. Az euklideszi sík geometriája nem ismer ilyen pontot; talán tud róla, de nem ismeri, mert a nemlétbe tolja. Ezen a síkon nincs olyan pont, amelynek elég erős belső tere volna, s azt ki is tudná sugározni.
Pedig a geometria nem zárja ki ilyen pont létezését: van ilyen geometriai pont. A kartéziánus origónak van belső tere. Ez későbbi, funkcionalizált formáján, a nullvektoron látszik a legjobban: a nullvektor minden iránnyal párhuzamos (azonos) és minden irányra merőleges. Itt a merőleges a dimenziónövekedés geometriai jelképe, a párhuzamos pedig az identifikációé. (A funkcionalizált, „igésített” origó tehát úgy azonos (identifikáció!) minden „széttartó” iránnyal, hogy magára vonatkoztatja és bevonja a növekedés egységes drámájába.) A geometria Descartes által filozófiailag megalapozott és jórészt általa kezdeményezett aritmetizálásának éppen abból nyeri erejét, hogy rámutat: a geometriai szemléletnek van középpontja. A gondolat csak fokozatosan nyer geometriailag világosan artikulált formát: ez a középpont az origó, a kezdőpont, ahol a cogito biztos kiindulópontként tör be a sum világába és világítja meg a struktúráját, vagyis azt, hogy ez a sum maga az időfölötti vertikálisának és az időbeliség horizontálisának metszéspontjában áll. Az alapirányok, a vertikális és a horizontális tengely keresztje belőle sugárzik ki. Az origó az osztó és önmagára vonatkoztató magatartást képviseli: minden irányt és vektort felbont egy, az origóból induló és egy, az origóba mutató irányra illetve vektorra. Azt is mondhatjuk: minden vektor (azaz végső soron minden testi, lelki vagy szellemi mozdulat) egy origóba mutató és egy origóból induló vektor szintéziséből születik.[21]
Az origó tehát megfelel annak a magasabb dimenziójú közös pontnak, amelyet a párhuzamosoknál hiányoltunk. A kép folytatható: a vertikális egyenes felel meg a párhuzamos egyenesek közül az ideákat képviselő „felső” egyenesnek, a horizontális pedig az „alsó” egyenesnek. A közös pontot, amelyet a párhuzamossági axióma a nemlétbe tolt ki, a kartéziánus, úgynevezett analitikus geometria létezőnek ismeri el, sőt, a középpontba – a létezés középpontjába – állítja: az origó az alapirányok metszéspontjában van. Ezzel a párhuzamosságban rejlő ellentmondást is a középpontba állítja. Magában is foglalja az ellentmondást abban a formában, hogy a nullvektor minden iránnyal azonos, és minden irányra merőleges, vagyis önmagán túlhajtó, végtelen identifikációra és növekedésre ösztönző ellentmondásként. Látszólag bagatellizálja azzal, hogy pont, tehát minimális kiterjedésű entitás jelzi és foglalja magában, de ennek a pontnak nagy súlya és intenzitása van. A kiterjedés nem egyenesen, hanem fordítottan arányos az intenzitással és a súllyal.
Descartes-ék analitikus geometriája is érvényben hagyja azonban az euklideszi párhuzamossági axiómát (miközben az analitikus geometriával párhuzamosan megszületik a perspektívikus projektív geometria). Hogy ez a geometriában miért nem vezet ellentmondásra, ez olyan kérdés, amelyre még válaszolnunk kell és hamarosan válaszolni is fogunk.
Előbb azonban térjünk vissza szorosabban vett témánkhoz, a geometria nem-euklideszi fordulatához. A Bolyai–Gauß–Lobacsevszkij-féle hiperbolikus geometria is felbontja az euklideszi párhuzamosság statikusságát. Mint mondtuk, ebben a geometriában egyáltalán nincsenek egyenlő távolságú egyenesek: két egyenes vagy közeledik, vagy távolodik egymástól. A párhuzamos egyenesek távolsága nem állandó, a párhuzamosok asszimptotikus egyenesek. Nem találkoznak, de tetszőlegesen megközelítik egymást: a párhuzamos egyenesek itt már hangsúlyosan a közös pont felé mutatnak. Ezt fejeztem ki úgy korábbi tanulmányomban, hogy „a végtelen távolnak érezhetően megnő az erósza Bolyaiéknál” (86).
De a közös pont nemlétbe veszése, a végtelenített nemtalálkozás itt is megmarad. A tragikum mélyebben rejlik, nem a párhuzamosság euklideszi axiómájában. Itt kap jelentőséget az a korábban említett tény, amelyre Bolyai mutat rá, hogy már az „abszolút geometria” magában foglalja a nemmetsző egyenespár és a végtelenített párhuzamosság fogalmát – így a közös pont nemlétezése közötti ellentmondást is.[22] Az euklideszi párhuzamossági axióma, csakúgy, mint a Bolyaiéké már az ellenmozdulatot jeleníti meg: a feloldatlan tragikummal szemben a pozitív állítást. Két lehetőség van: vagy a statikus, archaikus euklideszi párhuzamosság, vagy a hiperbolikus geometria modern, dinamikus párhuzamossága, de valamelyiket állítani kell.
Ez új megvilágításba helyezi azt is, hogy Tóth Imre a teljes dialektikának miért csak az egyik oldaláról, a kizárt harmadik eset elvének felfüggesztéséről, azaz az egységes hasadásáról beszél, és miért nem beszél az egység másik oldaláról, arról – ami nélkül nem egység az egység, nem teljes a dialektika –, hogy az egység az ellentmondó részek egymást-megismerése is. Tóth a nem-euklideszi geometriai forradalmat elemzi. Nem véletlen tehát, hogy csak arról beszél, hogy „az öntudat magasabb szintjére emelkedő énnek” meg kell szabadulnia az euklideszi–antieuklideszi hamis vagy-vagyától és el kell ismernie, hogy a két geometria, az euklideszi és a hiperbolikus geometria egyenrangú. A két geometria – mindazzal együtt, amit a Bolyai-geometria előnyéről korábban mondtunk – ezen a ponton valóban egyenrangú. Mindkettő az „abszolút geometria” elágazása, így mindkettő egyformán magában hordozza a feloldatlan tragikumot. Mindkettő tehetetlen az ananké hatalmával szemben, mindkettő a végtelen távolba, sőt a nemlétbe veti a párhuzamosok találkozási pontját. Éppen „a Másik felé mozgásnak”, s ezzel a Másik megismerésének szab határt. Az Én-Te viszonynak tehát egy tőle idegen erő, az ananké szab határt.
A kétféle párhuzamossági axióma két állítás önálló mondanivalóval. Teljes geometriához csak úgy jutunk, ha e mondanivalókat egymásra vonatkoztatjuk, mindkettőből eljutunk a másikhoz, megértjük a másikat is – vagyis ha a geometriai tér nem korlátozza a „Másik felé” irányuló mozgást.
Ha a tragikum gyökere az euklideszi párhuzamossági axiómánál mélyebbre, magáig az „abszolút” geometriáig nyúlik, akkor mondhatjuk-e, hogy Gauß, Bolyai és Lobacsevszkij megküzdött az euklideszi párhuzamosok képében rejlő tragikummal és azzal, hogy ez a feloldatlan tragikum a szükségszerűség attribútumával van felruházva? A tragikum feloldásáról csak akkor beszélhetünk, ha az abszolút geometriában rejlő tragikumot is sikerül feloldani. Ehhez pedig újra kell értelmezni az egyenes, az irány és a pont fogalmát és egymáshoz való viszonyukat is.[23] A hiperbolikus geometriai forradalom sem számolja fel tehát a tiszta metageometriai szemlélet követelménye és a geometriai szemlélet közötti konfliktust, de komplexebb problématérbe helyezi.
Hasonló a helyzet a kartéziánus fordulatnál is. A
kezdőpont, az origó metageometriai jelentése is ellentétben áll a
párhuzamossági axióma kielemzett metageometriai jelentésével. Az origó
geometriai bevezetése mégis érvényben hagyta az euklideszi párhuzamosságot. A –
szűkebb értelemben vett – geometria szintjén a két fogalom, az origó és
a párhuzamosság által hordozott gondolatok közötti ellentmondás nem
látszik. A metageometriai látásmód elleni érvelés gyakran éppen a közvetlen geometriai
– és általában a közvetlen matematikai – szintnek ezt az ellentmondás iránti
érzéketlenségét tekinti minden érzékenység mércéjének. Ahol ugyanis a
párhuzamosság elvét eleve adott keretként fogják fel, ott természetes, hogy a
metageometriai szemléletből születő új gondolatok párhuzamos, nem ütköző
gondolatokként sorolódnak a velük részben vagy egészében ellentétes gondolatok
mellé. Ellentmondásukat csak a tiszta metageometriai szemlélet látja.
A metageometriai szemlélet az ellentmondásérzékenység magasabb/mélyebb szintjét jelenti, mint a szűkebb értelemben vett geometriai szemlélet. Mind a descartes-i, mind a nem-euklideszi geometriai forradalomban konfliktus, folytonos harc van a kettő között. Két elv harcol egymással. A geometriai szemlélet eleve adottnak, felbonthatatlannak és kutathatatlannak tekinti a párhuzamosságot, a végtelenített nemtalálkozást, amely rögzíti az individualitás világának végességét és osztottságát. Az eleve adottság hipnózisa alól kellett tehát Gaußnak felszabadítania magát. Az alól a szuggeszció alól, hogy ez a világ felbonthatatlan, a belső meghasonlottság pedig feloldhatatlan. Ez takarta el előle az igazságot – az euklideszi geometriában levő igazságot is! A metageometriai szemlélet viszont nem tekinti eleve adottnak és szükségszerűnek, mert számára létezik az a pont, az az osztópont, amelyből kiindulva a végesség és osztottság elemezhető és felbontható, a meghasonlottság feloldható.
Természetesen ennek a pontnak a létezésére is igaz az, amit a két pontot összekötő egyenes létezéséről mondtunk – a metageometriai szemléletre éppen az a jellemző, hogy számára ez evidens –: ezt a végtelen pontot csak a kutatók közössége avathatja létezővé és teheti jelenvalóvá. Az olyan kutatók közössége, akik ebből a pontból mondanak egymásra igent. Korábbi kérdésünk tehát úgy is fogalmazható, hogy Bolyai, Gauß és Lobacsevszkij nem-euklideszi forradalma eljutott-e eddig a tiszta metageometriai szemléletig? Vagy épp láthatóvá tette annak lehetetlenségét?[24]
Nyilvánvaló, hogy az általuk kiküzdött nem-euklideszi szemlélet nem tekinti adottnak az euklideszi párhuzamosságot, de ellentétét, a hiperbolikus párhuzamosságot sem. A Bolyai-féle abszolút geometria ezen túlmenőleg olyan egységes geometria, amely nemcsak a kétféle párhuzamosság között kínál szabad választási lehetőséget, hanem lehetőséget ad annak tudatosítására is, hogy „én osztom az egységes geometriát euklideszi és hiperbolikus geometriára”. A mi kérdésünk azonban nem erre irányul, hanem arra, hogy a nem-euklideszi szemlélet nem tekinti-e mégis eleve adottnak a mindkét párhuzamosságot logikailag megelőző „abszolút” párhuzamosságot?
Tóth Imre a híres Bolyai-idézet nyomán („a semmiből egy új világot teremtettem”) azt mondja: Bolyai megteremtette az abszolút geometriát. De ez azt is jelenti, hogy a párhuzamosságot nem tekinti adottnak, hanem szabadon teremti. Szabadon lemond tehát az éppen kiküzdött metageometriai szabadságról? Nem ellentmondás ez? Ha ez így van, joggal beszélhetünk-e teremtésről és szabadságról? Kielégíti-e ez a metageometriai szemléletet? A geometriai szemlélet viszont azt kérdezi: hogyan beszélhetnénk szabadságról, ha egyszer nincs más lehetőség? Ha a párhuzamosságot nem fogadjuk el, akkor geometriailag nincs más lehetőség, mint az egyenes végességét elfogadni. A geometria szemszögéből úgy látszik: hiába gondolja a metageometriai szemlélet alanya, hogy szabad és szabadon teremt. Valójában nincs más lehetősége, csak a véges egyenes és a párhuzamosság között választhat. Utóbbi esetben pedig az euklideszi és a hiperbolikus párhuzamosság között kell választania. Szükségképpen valamelyik igazsága mellett kell döntenie – vagy be kell látnia, hogy az igazságról le kell mondania: szabadon választhat ugyan, de ezzel csak párhuzamosan létező és egyformán érvényes geometriák között választ. Vagyis a párhuzamosság és a logikai szükségszerűség hatalma metageometriai szinten is fennmarad.
A tiszta metageometriai szemlélet azonban éppen ennek a geometriai–logikai szükségszerűségnek a szükségszerűségét kérdőjelezi meg, igazságát nem ismeri el. Az ellenvetés közvetlenül a nem-euklideszi szemlélet ellen irányul ugyan, de valójában a metageometriai szemléletet támadja, ezért először ennek nevében kell rá válaszolnunk. Ez a szemlélet igazságon többet ért, mint eleve adott geometriai–logikai lehetőségek közötti választást.
A fenti gondolatmenet eleve adottnak kezel valamit, jelen esetben az abszolút geometriát, amit pedig a metageometriai szemlélet teremt. A gondolat eredményét leválasztja annak születéséről. Ez pedig csakis a saját horizontját szűkítő és forrását megtagadó geometriai szemlélet álláspontja lehet. Valójában a szűkebb értelemben vett geometriai létezés a metageometriai létezésből születik. A kartéziánus origót, csakúgy mint a hiperbolikus sík egyenesét, asszimptotikus egyenespárját és a többi paradoxnak tűnő alakzatát csakis a metageometriai szemlélet avatja létezővé. (Bolyai nyilván létezőnek és létező egyenespárnak látta az asszimptotikus egyenespárt, de vajon elmondható-e ez a mai kutatókról is?) Sőt, mint tanulmányunk elején elemeztük, már az (euklideszi) egyenes is a metageometriai szemléletből született, annak mintegy projekciója. Nem két vagy több adott geometria közötti választásról van tehát szó. A metageometriai szemlélet nem felejtheti el, hogy a metageometriai és a szűkebb értelemben vett geometriai ellentmondásérzékenység között szintkülönbség van, s hogy ennek gyökerében két elv közötti harc áll. Utóbbi eleve adottnak tekinti azt, ami a másik számára születőben levő gondolat. A metageometriai szemléletből születő új fogalmak és szemléleti tények ezt a különbséget, sőt harcot mélyebben ragadják meg. Nem arról van tehát szó, hogy a metageometriai szemlélet alanya – belátván, hogy „a valóság geometriai szerkezete indeterminált” – az egyik adott geometriai lehetőséget mintegy „igazságnak nevezi ki” és amellett dönt. Ennél lényegesen többet tesz. Értelmezi a geometriai alapfogalmakat és axiómákat. Felbontja azokat és a feltáruló ellentétes mondanivalóikat – és az egymást erősítőket is – egymásra vonatkoztatja. De ez sem elég. A geometriai szinten korlátozott szabadságot szembesíti a saját, metageometriai szabadságával. A kartéziánus origó vagy a Bolyai-féle egységes geometria gondolata ebből a szembesítésből született.
Ha ugyanis sikerül a kiküzdött metageometriai szemlélet belső törvényszerűségeit axiomatikusan vagyis egyszerű, szemléletes, magától értetődőséget sugárzó formában megfogalmazni, akkor ezek az új megfogalmazások egyszersmind a geometriai szemlélet alaptényeit is átértelmezik. A metageometriai szemlélet új tényei, új gondolatai új fényt vetnek a geometriai szemlélet terére, és átstruktúrálják azt. Ennek az új gondolatnak az igazsága mellett „dönt” a kutató. És ennek a gondolatnak az igazsága mellett valóban dönthet, mert jelen van a születésénél, mert benne születik a gondolat. Minden gondolat csak addig igaz, amíg nem szakad el születése pillanatától. Igazsága csak addig él a számunkra, amíg ezt a pillanatot a mi jelenünkbe vonjuk, s itt folytatjuk, „átjelenítjük”. Tábor Béla így folytatja az átjelenítésről mondottakat: „Elgondolni valamit éppen annyit jelent, mint múltjában szétszórt (és esetleg: jövőjében lebegő) lét-mozzanatait jelenünkbe gyűjteni: tehát nemcsak a múltból a jelenbe, hanem az ő múltjából a mi jelenünkbe”. A metageometriai szemlélet ebben a logoszt képviseli, amely „elgondolhatóvá és átjeleníthetővé tesz”. És nemcsak ebben. Korábban a logoszról mondtuk azt, amit most a metageometriai szemléletről, hogy meg kell küzdenie az ananké hatalmával. A logoszra jellemző az is, amit a metageometriai szemlélet értelmező és felbontó funkciójáról mondtunk s végül a logoszra jellemző a korlátlanul mélyíthető ellentmondásérzékenység is.
Most már válaszolhatunk a nem-euklideszi szemléletet és a nem-euklideszi geometriai fordulatot illető kérdésünkre. Ez a fordulat egy részleges metageometriai forradalom eredményeképpen láthatóvá teszi az euklidesziben rejlő ellentmondást: a párhuzamos egyenesek „törekednek” egymás felé, de közös irányuk ellenére soha nem találkoznak. Ám a közvetlen geometriai szinten ezzel jól megfér az, hogy a napvilágra hozott ellentmondás gyökerét rejtő abszolút geometriát elfogadja. A hiperbolikus geometria sem ás le a tragikum rejtett gyökeréig, mondtuk. Ez az eggyel mélyebb ellentmondás csak a metageometria szintjéről látható. Csak innen látható az az igazságszikra is, amely a hiperbolikus geometria felfedezéséből kipattant. A nem-euklideszi szemlélet tehát kompromisszum a logoszt képviselő tiszta metageometriai szemlélet és az anankéval terhes euklideszi geometriai szemlélet között. Az abszolút geometria sem ás le a tragikum gyökeréig, érintetlenül hagyja, de annak keretein belül a hiperbolikus geometria – a geometria szintjén is – az osztó magatartás középpontba kerülését fejezi ki. Megnő a pont ellenállása és térteremtő ereje is; másrészt a hiperbolikus geometriában az irány töretlensége sokkal erősebb ellenállásrendszerrel szemben érvényesül, mint az euklidesziben. Bolyaiék tehát lépéseket tesznek az egyenes, a pont, az irány fogalmának újraértelmezése felé. Mindez azt is jelenti, hogy a metageometriai szinten történő áttörésnek a hiperbolikus geometria felel meg. Igaznak persze csak addig igaz, amíg a metageometriai áttörés, a benne felvillanó (szubjektív) igazság és szellem ölt benne alakot s ösztönöz a metageometriai áttörés folytatására. De megszűnik igaznak lenni, amint függetlenedik tőle, és hasonul a szűkebb értelemben vett geometriai szemlélethez, s eleve adottsággá, rossz értelemben vett axiómává válik.
A hasonulás egyik formája, hogy a hiperbolikus geometriát az euklideszi modelljén keresztül tanítják, vagyis azt tanítják, hogyan látszik az euklideszi geometriában. A Bolyai-geometria matematikai asszimilálására – divatos szóval: „rekonstrukciójára” – általánosan jellemző, hogy a benne áttörő szubjektív szellemet, az újszerű ellentmondástudatosságot csak felszínesen, szubjektivitás- és ellentmondásminimum formájában asszimilálták. Másrészt az is igaz, hogy az euklideszi rendszer maga sem azonos azzal a hipnózissal, amelyet Bolyaiék korában már sugárzott magából, s amely alól Gaußnak is fel kellett magát szabadítania. De az euklideszi rendszer igazsága és rejtett ellentmondása is csak a dialektikus metageometriai szintről látható.
Az idő minden jelenléttől, minden alkotói pillanat valóságától elválasztó hatalmát abszolutizáló „rekonstrukció” és dekonstrukció korában azért üdítő Tóth Imrének a nem-euklideszi geometriáról írt tanulmányait olvasni, mert szerzőjük nem a re- és dekonstrukcióra, hanem az átjelenítésre törekszik. Nem engedi, hogy belenyugodjunk a minimális szintű „rekonstrukcióba”. Írásai arra ösztönözhetik olvasóit, hogy a probléma ma is élő forró magváig jusson el. A geometriatörténet metageometriai áttörési pillanataira, azok ma is ható és átjeleníthető tartalmára irányítják a figyelmet.
IRODALOM
Freedom and Geometry, the Struggle of Logos and Ananke in Geometry
Notes on Imre Tóth’s Interpretation of Bolyai’s Work
by László Surányi
The problem of the parallel axiom is not a single, isolated geometric problem––consciuosly or unconsciuosly, researchers attacking it had to confront the Greek tragical worldview it embodies. Indeed, the significance of axioms lies beyond their technical statement––they express the worldview of a research community and the laws of its spiritual, psychical, and physical reality in a self-evident and clear form. The parallel axiom focuses on the problem of an infinite straight line––a formulation of the struggle between the Greek logos and ananke in simple geometric language. The straight line is a symbol for freedom: if something is capable of rectilinear motion in a region, then it is free of the region’s disturbing influence, it can move unimpeded, keeping its direction. The infinite straight line raises this freedom to a higher power, indeed, an infinite power, and thus it represents the power of logos. In contrast, the parallel axiom proclaims the power of the relentless, unapproachable ananke. It declares an eternal gap between the two straight lines representing the pure world of transcendent ideas and the world of finite individuality respectively. In addition, it declares that the direction of the two lines is identical, that is, they should point to a common point, which, in turn, is declared non-existent. Thus, the axiom implies, the meeting point of the two worlds is separated from both, and the whirl of contradictions spanned by them is inaccessible for research. These contradictions can only be resolved by a community of researchers which is unceasingly conscious that it lives on the boundary of the two worlds, and never declares the whirl induced by their conflict nonexistent. The revolution of hyperbolic geometry is the revolution of subjectivity. It is the revolution of the researcher who regards the system of contradictions hidden in the parallel axiom as his own contradictions, as contradictions implied, and, in the best case, resolved by his own existence.
[1] Művei, így például az imaginárius számokról írt tanulmánya és filozófiai jegyzetei alig ismertek és alig hozzáférhetőek. A magyarországi tudatlanságnak hosszú története van. Fő művét, az 1832-ben apja könyvének függelékeként kiadott Appendixet, amely forradalmasította a geometriai gondolkodást, harminc évvel korábban adták ki franciául és angolul, mint magyarul. Eötvös Józsefet 1869-ben levélben keresi meg az Olasz Akadémia Matematikai Osztályának elnöke és megkéri, vagy adják ki Bolyai művét, vagy engedjék át a kiadás jogát. Eötvös innen tudja meg, milyen lángelmét adott a világnak Magyarország. Látván, hogy a magyar tudósoknak mennyire nincs erről fogalmuk, ezt írja Loránt fiának: „Ha örülünk, hogy nagy matematikust adtunk a világnak: lehet-e nagyobb bizonysága barbarizmusunknak?” A pár éve változatlanul újra kiadott Révai Lexikon mindössze egy hasábot szán Bolyai Jánosnak. Megtudjuk, hogy lángelméjét apjától örökölte, majd következik az apjával való konfliktus részletes, de nem hiteles leírása, állítólagos halálos végű párbajairól is értesülünk, majd megtudjuk, hogy van egy munkája, amelyet 1897-ben (!) fordítottak le magyarra. Hogy abban világra szóló felfedezés van, s hogy az miben áll, arról szó sem esik. Amikor 1884-ben Bolyai János tiszteletére emlékülést tartottak az Akadémián, a megemlékező így mennydörgött ellene: „eszméi a fennálló világrendtől teljesen eltérőkké váltak”. Ilyen volt a magyar befogadó környezet – nem csodálkozhatunk, ha egy német matematikai lexikon Bolyait a Gauß–Lobacsevszkij-féle(!) geometria egyik felfedezőjének mondja. – Érdemes megemlíteni, hogy Annemarie Maeger 1999-ben egy nagyobb válogatást adott ki Bolyai műveiből (János Bolyai – Der Mozart der Mathematik – Leben und Werk), benne az Appendix eredeti, latin szövegével és Bolyai saját német fordításával. A kötetben a matematikai írások mellett helyet kapott Bolyai néhány filozófiai töredéke is. A jelen könyvben olvasható Tóth Imre tanulmány is ebben a kötetben jelent meg először.
[2] Vö. SZABÓ Lajos: Szemináriumi előadásai I, a könyvben: 181skk. „A pont közösségi-szellemi realitás, s minden tulajdonságát leírhatom, ha nincs tabuszerűen letiltva a további analízis. Az osztás a pozitív magatartás, de ha Kant módjára határt szabok neki, ha abból indulok ki, hogy csak az atomig oszthatok, ez maga az ellentmondás.” Uo. 7.(a könyvben: 190.). Logikum–esztétikum–etikum egységéről l. pl. uo. 132-141.
[3] Az euklideszi geometriában
például bármely háromszög köré írható kör, mert az oldalak szimmetriatengelyei,
azaz oldalfelezőmerőlegesei biztosan metszik egymást. A hiperbolikus
geometriában is az oldalfelezőmerőlegesek a szimmetriatengelyek, de ezek nem
minden háromszög esetében metszik egymást, s ezért nem minden háromszög köré
írható kör.
[4] Már itt megjegyezzük, hogy a hiperbolikus geometriában, ahol minden e egyeneshez minden rajta kívül fekvő P pontból több ilyen nemmetsző egyenes húzható, szintén értelmezhető a párhuzamos egyenes fogalma, ott azonban bármely két egyenes vagy távolodik egymástól, vagy közeledik. A párhuzamos egyenesek asszimptotikus egyenesek: távolságuk a párhuzamosság irányában tetszőlegesen kicsi lesz. Nyilvánvaló, hogy annak a görög gondolkodásnak, amely a nyugalom–mozgás ellentétpárból az előbbit értékelte pozitívan, az utóbbit negatívan, az euklideszi axióma felel meg, ahol a párhuzamosok távolsága állandó. A dinamikus európai gondolkodásnak viszont a hiperbolikus geometria felel meg, ahol a távolság mindig csökken vagy nő.
[5] Nemcsak a mítoszközösségen belül, minden közösségen belül! Iránytalan, közömbös egyenesek, a le nem győzött tehetetlenség nyomvonalai, gondolatmenetek, amelyeknek nincs céljuk és súlyuk, azaz nincs legyőzött belső ellenállásuk, nem találkozhatnak. Ezért a találkozási pont, a közös pont, amelybe a közös irányok mutatnak, mindig centrális pont, középpont. A találkozás a kölcsönös belső érdekeltség terében történik. A centrum, az origó belső tere a találkozás helye. A látszatra legjobban széttartók is találkoznak, egymáson értelmeződnek. Nem a sok, a széttartás irányában, hanem a középpontban. (Ez a végső értelme az origógondolatnak is.) A centrum tehát magában hordozza a körszerűséget is. Másrészt az egyenes baaderi elemzése szerint ennek a középpontnak az áttörése alapozza meg az egyenest is. Ahogyan a középpont magában foglalja és egyszerre sugározza ki magából mindkettőt, az egyenes expanziós energiáját és a kör határoló, lekerekítő és befogadó mozdulatát, úgy az irány fogalmában is eredendően egyensúlyban van a kettő, a lineáris és a kör- vagy gömbszerű. A párhuzamosságon alapuló új irányfogalom felbontja ennek az egyensúlynak a mítoszon belüli egyensúlyát, a mélyebb egyensúlyhoz, a centrum mélyebb fogalmához azonban nem jut el. Az irány fogalmát kizárólag az egyeneshez köti, körszerű és lineáris egyensúlyának mélyebb megalapozásáról lemond.
[6] Az egész gondolatmenet hátteréhez lásd: TÁBOR Béla A biblicizmus két hangsúlyáról szóló írását in Tábor, 203-216.
[7] Más vonatkozásban, az
összemérhetőség vonatkozásában azonban éppen a párhuzamossági axióma teszi
kutathatóvá az itt rejlő mélyebb ellentmondást.
[8] ROSENZWEIG, 1. rész, 3.
könyv, 89skk., különösen 101skk. Az egész gondolatmenethez vö. Surányi, 71-76.
[9] Másrészt idézi a
Montaigne-tanítvány François La Mothe le Vayer-t, aki kijelenti: „Istent
szabadságában sem Euklidész axiómái, sem Arisztotelész logikai törvényei nem korlátozzák.”
Descartes pedig kimondja: Isten szabadsága az igazság forrása.
[10] Taurinus igen izgalmas és bonyolult álláspontját (talán önmagával is folytatott vitáját) Tóth behatóan elemzi (IG 14-25, vö. 406). Taurinus ragaszkodott ahhoz, hogy egyetlen igazi geometria van. Részletesen kifejtette az antieuklideszi rendszert, de végül elutasította, lényegében azért, mert abból az euklideszi rendszerrel szemben nem egy, hanem végtelen sok van. Tóth viszont ez utóbbi tényben is a szubjektivitás erősödését látja. – Wachter viszont egy ideig Taurinusszal ellentétes állásponton volt: ő az euklideszi geometriát utasította el, és az antieuklideszit tekintette igaznak (vö. IG 31, 22. lábjegyzet és a jelen kötet tanulmányának ide vonatkozó részét). – Tóth visszatérően foglalkozik Saccheri szerepével is, aki az első nagy lépéseket tette az antieuklideszi rendszer kidolgozása felé. Felteszi a kérdést, vajon Saccheri atya nem csak az inkvizíciótól való félelmében írta-e, hogy Euklidész igazát akarja bebizonyítani, holott valójában tudta vagy sejtette, hogy ez lehetetlen (DI 1243-1245, IG 322-328).
[11] Tábor Béla: Id. mű, 209.
[12] „A szoros értelemben vett nemeukideszi geometria akkor keletkezett, és elméletileg csak akkor jöhetett létre, amikor feladták a lét és az igazság unicitásának tézisét, és egy olyan filozófiai koncepciót fogadtak el, amelynek lényege a geometriai rendszerek és világok pluralitása.” (IG 68). „Az időben nincs menekvés a harmadik kizárásának elve alól: a tábornoknak döntenie kell, szabadsága csak abban áll, hogy ellentétes lehetőségek között választhat. De a geometria időtlen”, itt nem érvényes a harmadik kizárásának elve. Ugyanezt kissé más megfogalmazásban l. IG 323.
[13] SZABÓ L.: Adalékok a halmazelmélet kérdéséhez, 2., 127. Vö. a 2. lábjegyzetben közölt idézettel is.
[14] „Teljesen új típusú tudásról van itt szó, amelyik sajátos tartalmát tekintve nem geometriai, hanem … transzcendálja a tér tárgyaira és azok sajátos tulajdonságaira vonatkozó geometriai tudás szférájának … határait”. Az új geométer „abszolút bizonyossággal tudja,” hogy „a világ – geometriai struktúrája tekintetében – indeterminált” (IG 314). Ugyanitt Tóth a megismerő öntudatra ébredéséről beszél: annak felismeréséről, hogy az egész geometriai univerzum, vagy tágabban: a tárgyak világának egésze az ő megismerésének a tárgya, és az igazságot ez az ő megismerése teremti, semmi más. Tehát nemcsak ő van az univerzumban, hanem az univerzum is ő benne: nagyobb is az univerzumnál, folytatja. Megjegyezzük, hogy Schmitt Jenő Henrik szerint éppen ez a felismerés a gnosztikus megismerés kezdete.
Két mozzanatot érdemes itt megkülönböztetni. A matematikai alapélmény az „es denkt in mir”, (valami gondolkodik bennem, vö. LICHTENBERG, 168-9). Ez az élmény a gondolkodás törvényeinek végtelen világát nyitja meg előttünk, s azt a mámoros élményt, hogy ebben a világban szabadon mozoghatunk. Ide tartozik az a felismerés, hogy „az egész geometriai univerzum”, vagy tágabban: a tárgyak világának egésze a megismerés tárgya. Az „es denkt in mir” még harmadik személyű, a matematikai gondolkodás alanya még általános alany. Schmitt Jenő Henrik dimenzióelméletében a matematikai gondolkodásban megnyíló dimenziót a végtelen tudat dimenziójának is nevezi. Tóth joggal beszél a megismerő öntudatra ébredéséről: a geometriai fordulattal (de tegyük hozzá, hogy nemcsak Bolyaiékéval, hanem már a descartes-ival is!) ezen a dimenzión belül egy új perspektíva is megnyílik vagy legalábbis felsejlik: a megismerő személyiség matematikája. Nemcsak az tudható „abszolút bizonyossággal”, hogy „a világ – geometriai struktúrája tekintetében – indeterminált”, hanem az is, hogy determinálttá csak a megismerő szubjektív és objektív ellentmondásrendszerének találkozási pontján válik. A harmadik személyű matematikát felváltja a végtelen öntudatra ébredő én személyes matematikája, az „én matematikám” (amely természetesen nincs külön az „én világképemtől”). Igazság nem létezik az én közreműködésem nélkül. De az én matematikám előfeltétele, mint korábban láttuk, a Másik – végső soron a második személy – elismerése. A geometriai fordulat tehát egyrészt a „Másik” elismerése, másrészt az Én öntudatra ébredése. A Másik felszabadítása és önmagam felszabadítása nincs egymás nélkül.
[15] „A tagadás nem a rombolás, hanem az alkotás eszközének bizonyult”. „A szabadság gondolata irreverzibilis, a szabadság tettei megsemmisíthetetlenek” (IG 398, 410, vö. DI 1380-1381.) A De Interpretatione-ben Tóth a teremtés és a történelmi emlékezet (eredetiség és kommentárirodalom) dialektikus kapcsolatát elemzi.
[16] „Az egységes hasadása és ellentmondó részeinek megismerése” – a dialektikának ezt a Philonra visszamenő meghatározását behatóan elemzi Tábor Béla Szabó Lajosról írt tanulmányában. (17-18.oldal)
[17] Az első személytől el kell jutni a második személyhez, az Éntől a Tehez, és az Énnek „Te”-vé kell válnia a Másik számára, mondja Ferdinand EBNER (pl. 48-59). Ő a matematikát egyértelműen a második személy előli elzárkózás, az énmagánosság megnyilvánulásának tartja (144 skk.), ám a metageometriai szemlélet megteremtése értelmezésünk szerint éppen az énmagánosság áttörését jelenti. A végtelen egyenes axiómáját (a Másik felé mozgás végtelen szabadságának axiómáját) csak ilyen áttörés teheti igazzá. – Ugyancsak Ebner hívja fel a figyelmet Ernst BARTHEL „totálsíkjára”, vagyis arra, hogy Barthel polárgeometriájának mélyén az a gondolat van, hogy az igazi geometriai szemlélet „kétszemélyes” szemlélet, a sík csak egy második személlyel együtt szemlélve válik önmagában zárt síkká.
[18] Ha egy gömböt, amely valamely S síkot egy rögzített P pontban érint, elkezdünk „felfújni” úgy, hogy mindig érintse az S síkot a P pontban, akkor az euklideszi síkon ezek a gömbök az S sík által határolt egész félteret kitöltik. Határfelületük, a „végtelen sugarú gömb” tehát az S sík lesz. A hiperbolikus geometriában viszont nem töltik ki az S sík által határolt félteret, határfelületük, a „végtelen sugarú gömb” tehát egy, „a síktól elhajló, görbe” felület lesz. Ha most ezt a felületet elmetsszük az S síkra merőleges síkkal, az egy szintén nulla görbületű görbét metsz ki a felületből. Ha ezeket nevezzük „egyeneseknek”, „pontnak” pedig a felület valódi pontjait, akkor ezekre a pontokra és „egyenesekre” minden euklideszi axióma, a párhuzamossági axióma is érvényes. Ezt jelenti az, hogy a „végtelen sugarú gömb” az euklideszi (sík)geometria modellja a hiperbolikus geometriában.
[19] Mi sem jellemzőbb, mint Cayley esete, akinek neve, mint Tóth megjegyzi, „akarata ellenére” nőtt össze a nem-euklideszi geoemetriával: konstrukciójáról csak F. Klein vette észre (évekkel később), hogy belőle a nem-euklideszi geometria modellja nyerhető. Maga Cayley viszont „makacsul elutasította, hogy elismerje egy nem-euklideszi világ autonóm egzisztenciáját” (IG 287).
[20] A XXII. JÁNOS pápa által 1329. március 27-án kibocsátott, ECKHART mester eretneknek nyilvánított tanításait felsoroló és kiátkozó In agro dominico kezdetű bulla 13. pontja (in: ECKHART, 451-2).
[21] A mítosz alapirányainak, fentnek és lentnek, elölnek és hátulnak abszolút jelentését megingató illetve relativizáló kopernikuszi fordulattal ellentétes fordulatként megjelenik a kitüntetett pont, a kitüntetett iránypár – a vertikális-horizontális struktúra). Harmadikként megjelenik a kitüntetett síkalakzat, a kúpszeletek (kör, ellipszis, parabola, hiperbola, egyenespár) közös ősképe: az egységkör. A kartéziánus ihletésű gondolkodás egyik legszebb gondolata ez az origó-szerkezet, amellyel az intenzitás (a cogito) megvilágítja az extenzitás világát. A gondolat csak Descartes után nyert ilyen geometriailag is világosan artikulált megfogalmazást, mégis Descartes individualizmusa és ősforma-érzékenysége találkozik benne. (Vö. korábbi Bolyai-tanulmányommal, főleg 52. és 69.) A szemlélet körszerű teljessége és befejezettsége a trigonometrikus mérések alapja. A vertikális-horizontális alapstruktúrához ez is hozzátartozik: nemcsak az egyenesszerűt, a körszerűt is az origó, az áttörő cogito, a tiszta intenzitás sugározza ki magából. Maga az áttörő középpont az, amely kört von maga köré. Nem az üres térbe sugározza ki energiáját, hiszen ez nem is kisugárzás, hanem szétszórás, depotencializálás volna. Kört von maga köré, amelybe foglalva hatni tud. (A böhmei „Sich in Grund fassen”.) A centrum köré vont kör az esztétikai mozdulatot, a magába fogadást és zártságával a képszerűséget jeleníti meg. Az egyenes az aktív etikai mozdulatot, a „te” felé fordulást, a távolság-teremtést és a távolság legyőzését, a Szabó Lajos-i „előre és felfelé törő rangrelativitást”, a centrum mozgását. Ahogyan az egyenes a centrum áttörésének töretlen erejét fejezi/fejti ki, úgy a kör a centrum képe, zártsága a centrumból ered. Kép és tűz, főnév és ige, böhmei Wesen és Geist, formálás és teremtés, körszerű nyugalom és töretlen irány (mozgás) egysége fejezi ki a „centrum belső életét”.
Az origóban áttörő centralitással ellentétben az a végtelen távolba tolt közös pont, amelyre a párhuzamosok közös iránya mutatna, nem sugározza ki magából sem a kör lekerekítő, magába fogadó és magába záró mozdulatát sem az egyenes által képviselt szabad önkibontás energiáját. Nem von maga köré kört, amelyben hathat. Nem von maga köré kört – ezzel teret enged az üres tér fikciójának. A logosznak útján meg kell küzdenie az üres tér fikciójával. Üres térben nem volna irány, nem volna mutatás, sem közös irány, így párhuzamosság sem volna lehetséges. Nem is üres térről van szó a párhuzamosoknál. A végtelen egyenesnek a logosz irányát nem a centrumtól függetlenedett üres térben kell képviselnie: a párhuzamos egyenespár az ideák szférája és az emberi szféra közötti koriszmoszt jeleníti meg. De azt a végtelen, a sík pontjaihoz képest transzcendens pontot, amelyre a párhuzamos egyenesek közös iránya mutatna, a geometria nem tudja létezéssel, valóságos jellel kifejezni, s ezért a koriszmoszt sem vezetheti vissza rá. Másra sem. Eleve adottnak tekinti.
A biblikus felfogás nem tekinti eleve adottnak ezt a szakadékot: magára Istenre, Isten szentségére vezeti vissza (ld. Tábor Béla: A szentség értelmezéséhez), maga Isten választja el magát „abszolút módon” mindentől, ami nem ő. A kinyilatkoztatás fénye sem (így Krisztus, a testet öltött logosz sem) szünteti meg az isteni szférát elválasztó szakadékot, hanem közvetíti azt, ami ezt a szakadékot is át tudja hidalni. A közvetítés bizonyos értelemben átfogja a szakadékot is. A párhuzamos egyenesek képe és a végtelen távolba tolt közös pont képe azt sugallja, hogy a koriszmoszt nem fogja át semmi. A párhuzamosok képe a szakadékot függetleníti teremtő forrásától, amelyet a végtelen távolba tol.
Minthogy a kartéziánus geometria is elfogadja a párhuzamosságot és épít rá, felmerül a kérdés: mi oldja fel a „végtelen távoli” és az origó áttörő jelene közötti ellentmondást? Barthel polárgeometriája kísérlet az ellentmondás feloldására a polaritás, az androgüneitás jegyében. De nála a koriszmosz súlya vész el, a végtelen és a véges közötti ellentét vész el.
[22] Az abszolút geometriában, tehát attól függetlenül, hogy melyik párhuzamossági axiómát fogadjuk el igaznak, bizonyítható, hogy létezik nem metsző egyenespár. Vegyük fel az e egyenest és rajta kívül a P pontot. Állítsunk merőlegest e-re P-ből, ez lesz f. Most állítsunk merőlegest f-re P- n keresztül. Ha a kapott g egyenes metszené e-t és a metszéspont f-től jobbra volna, akkor f-től balra is volna metszéspont, hiszen az ábra szimmetrikus f-re. Ha tehát e-nek és g-nek volna metszéspontja, akkor két különböző metszéspontja volna. Márpedig az is axióma, hogy két ponton keresztül csak egy egyenes húzható. (Megjegyezzük, hogy Barthel polárgeometriája éppen ezt az axiómát nem fogadja el.)
[23] Az euklideszi, a hiperbolikus és az elliptikus geometriában egyaránt az egyenes a lineáris alapfogalom, az irány fogalmát belőle vezetik le, s a levezetés sohasem problémamentes és semmiképp sem természetes. Másfajta geometriához vezetne, ha az irány fogalmából indulnánk ki, mint lineáris alapfogalomból. Az irány fogalmának előtérbe állítása a jel- és térelmélet (geometria) közötti szorosabb kapcsolatok feltárását is lehetővé teheti.
[24] Bolyai János visszhangtalansága, elzártsága Gaußtól és Lobacsevszkijtől a Hölderlin által megfogalmazott Patmosz-szituációt juttatja eszünkbe: „gehäust sind rings / Die Gipfel der Zeit / Und die Liebsten nahe wohnen, ermattend auf / Getrenntesten Bergen”. Hölderlin sorai éppen a romantikus szituációt fogalmazzák meg, és az egymásra igentmondás kérdését vetik fel.